Номер 157, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 157, страница 48.

157 Дан тупой угол AOB. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Пусть дан тупой угол $\angle AOB$, то есть $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$. Требуется построить луч $OX$ так, чтобы углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ были равными и при этом тупыми.

Анализ

Рассмотрим два возможных расположения луча $OX$ относительно угла $\angle AOB$.

1. Луч $OX$ проходит внутри угла $\angle AOB$.
В этом случае, для того чтобы углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ были равны, луч $OX$ должен быть биссектрисой угла $\angle AOB$. Тогда $\angle XOA = \angle XOB = \frac{1}{2}\angle AOB$. Поскольку по условию угол $\angle AOB$ тупой ($90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$), то его половина будет острым углом ($45^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$). Следовательно, углы $\angle XOA$ и $\angle XOB$ будут острыми, что противоречит условию задачи.

2. Луч $OX$ проходит вне угла $\angle AOB$.
Равенство углов $\angle XOA = \angle XOB$ означает, что луч $OX$ является биссектрисой угла, образованного лучами $OA$ и $OB$ и дополняющего $\angle AOB$ до $360^\circ$. Проще всего найти положение этого луча через биссектрису самого угла $\angle AOB$.

Пусть $OK$ – это биссектриса угла $\angle AOB$. Построим луч $OX$ как дополнение луча $OK$ до прямой (то есть $OX$ и $OK$ — противоположно направленные лучи). В этом случае угол, образованный лучами $OK$ и $OX$, является развернутым: $\angle KOX = 180^\circ$. Тогда угол $\angle XOA$ можно выразить через смежные углы: $\angle XOA = 180^\circ - \angle KOA$. Так как $OK$ — биссектриса, $\angle KOA = \frac{1}{2}\angle AOB$. Значит, $\angle XOA = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Аналогично, $\angle XOB = 180^\circ - \angle KOB = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$. Таким образом, условие $\angle XOA = \angle XOB$ выполняется.

Проверим, являются ли полученные углы тупыми. Из условия $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$ следует, что $45^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$. Вычтем это неравенство из $180^\circ$: $180^\circ - 90^\circ < 180^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB < 180^\circ - 45^\circ$. В результате получаем: $90^\circ < \angle XOA < 135^\circ$. Так как величина угла $\angle XOA$ (и равного ему $\angle XOB$) больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, эти углы являются тупыми. Данное расположение луча $OX$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Построение

Алгоритм построения искомого луча $OX$:

1. Построить биссектрису $OK$ данного тупого угла $\angle AOB$.
2. Построить луч $OX$, дополнительный к лучу $OK$. Для этого нужно провести прямую через точки $O$ и $K$ и выбрать на ней луч с началом в точке $O$, не содержащий точку $K$.

Ответ: Для построения искомого луча $OX$ необходимо сначала построить биссектрису $OK$ данного тупого угла $\angle AOB$. Искомый луч $OX$ является лучом, дополнительным к биссектрисе $OK$ (то есть лучи $OK$ и $OX$ лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от точки $O$).