Номер 4, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 4, страница 49.

4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

Формулировка теоремы (первый признак равенства треугольников)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию равны две стороны и угол между ними.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство будем проводить методом наложения.

1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ также совпадет с лучом $A_1C_1$.

2. Поскольку по условию сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$, то при наложении луча $AB$ на луч $A_1B_1$ их концы, то есть точки $B$ и $B_1$, совпадут.

3. Аналогично, поскольку сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$, то при наложении луча $AC$ на луч $A_1C_1$ их концы, точки $C$ и $C_1$, также совпадут.

4. Мы получили, что при наложении совпали вершины $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$. Следовательно, стороны $BC$ и $B_1C_1$ также совпадут, так как через две точки можно провести только одну прямую (и, соответственно, один отрезок).

5. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ полностью совместился с треугольником $\triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что треугольники равны.

Теорема доказана.

Ответ: Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.