Страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

159 Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АK; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Для решения задачи нам понадобятся циркуль и линейка без делений. Мы будем выполнять классические геометрические построения для произвольного треугольника $ABC$.

а) биссектрису АК

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол пополам. Для построения биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника $ABC$ выполним следующие шаги:

1. С центром в вершине $A$ проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны $AB$ и $AC$. Обозначим точки пересечения как $P$ и $Q$ соответственно.
2. Из точек $P$ и $Q$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между $P$ и $Q$) так, чтобы они пересеклись внутри угла $BAC$. Обозначим точку их пересечения как $D$.
3. С помощью линейки проводим луч из вершины $A$ через точку $D$.
4. Точка пересечения этого луча со стороной $BC$ является точкой $K$.

Полученный отрезок $AK$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$, так как по построению $\angle BAK = \angle CAK$.

Ответ: Биссектриса $АК$ построена.

б) медиану BM

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медианы $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$ необходимо найти середину стороны $AC$.

1. Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведём дугу с радиусом, заведомо большим половины длины отрезка $AC$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой в двух точках. Обозначим эти точки как $R$ и $S$.
3. С помощью линейки соединим точки $R$ и $S$. Прямая $RS$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
4. Точка пересечения прямой $RS$ со стороной $AC$ является её серединой. Обозначим эту точку как $M$. Таким образом, $AM = MC$.
5. Соединим вершину $B$ с точкой $M$ с помощью линейки.

Полученный отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

Ответ: Медиана $BM$ построена.

в) высоту CH треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для построения высоты $CH$ из вершины $C$ на сторону $AB$ выполним следующие действия:

1. Установим ножку циркуля в вершину $C$. Проведём дугу такого радиуса, чтобы она пересекла прямую, содержащую сторону $AB$, в двух точках. Обозначим эти точки как $X$ и $Y$. (Если треугольник тупоугольный с тупым углом при вершине $A$ или $B$, то дуга пересечет продолжение стороны $AB$).
2. Из точек $X$ и $Y$ как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (большего половины длины отрезка $XY$) с одной стороны от прямой $AB$ (с той, где не лежит точка $C$) до их пересечения. Обозначим точку пересечения как $F$.
3. С помощью линейки проведём прямую через точки $C$ и $F$.
4. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ является основанием высоты. Обозначим эту точку как $H$.

Отрезок $CH$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$, так как по построению $CH \perp AB$.

Ответ: Высота $CH$ построена.

160 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30′.

а) 45°

Для построения угла в $45^\circ$ необходимо сначала построить прямой угол ($90^\circ$), а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.

1. С помощью линейки проведём произвольную прямую l и отметим на ней точку O. Эта точка будет вершиной нашего будущего угла.
2. Установим острие циркуля в точку O и проведём окружность (или дугу) произвольного радиуса R. Она пересечёт прямую l в двух точках. Назовём их A и B.
3. Теперь построим перпендикуляр к прямой l в точке O. Для этого из точек A и B проведём две дуги одинаковым радиусом, который должен быть больше, чем длина отрезка AO (то есть больше R), так, чтобы они пересеклись. Получим точку C.
4. С помощью линейки соединим точки O и C. Луч OC перпендикулярен прямой l. Таким образом, мы построили прямой угол $\angle{COB} = 90^\circ$.
5. Теперь разделим угол $\angle{COB}$ пополам. Для этого построим его биссектрису. Дуга, которую мы провели в шаге 2, пересекает луч OC в некоторой точке. Назовём её D. Точки B и D лежат на сторонах угла $\angle{COB}$ и равноудалены от вершины O.
6. Из точек B и D проведём две дуги одинаковым произвольным радиусом так, чтобы они пересеклись внутри угла $\angle{COB}$. Точку их пересечения назовём E.
7. Проведём луч OE. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{COB}$.
8. Полученный угол $\angle{EOB}$ является искомым, так как его величина равна половине прямого угла: $\angle{EOB} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle{EOB}$ равен $45^\circ$.

б) 22°30'

Угол в $22^\circ30'$ (22 градуса 30 минут) равен половине угла в $45^\circ$, так как $30' = 0.5^\circ$, и следовательно, $22^\circ30' = 22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Поэтому для построения этого угла нужно сначала построить угол в $45^\circ$, а затем разделить его пополам (построить его биссектрису).

1. Сначала построим угол в $45^\circ$. Для этого выполним все шаги 1-8, описанные в пункте (а). В результате получим угол $\angle{EOB} = 45^\circ$ с вершиной в точке O.
2. Теперь построим биссектрису угла $\angle{EOB}$. Установим острие циркуля в вершину O и проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны угла, лучи OE и OB. Обозначим точки пересечения F (на луче OE) и G (на луче OB).
3. Из точек F и G, как из центров, проведём две дуги одинакового (и произвольного) радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла $\angle{EOB}$. Точку их пересечения назовём K.
4. С помощью линейки проведём луч OK. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{EOB}$.
5. Полученный угол $\angle{KOB}$ является искомым. Его величина равна: $\angle{KOB} = \frac{\angle{EOB}}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ = 22^\circ30'$.

Ответ: Построенный угол $\angle{KOB}$ равен $22^\circ30'$.

1 Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

Объясните, какая фигура называется треугольником.

Треугольник — это простейший многоугольник, который представляет собой геометрическую фигуру, образованную тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки. Эти три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Треугольник ограничивает часть плоскости, которую называют внутренней областью треугольника.

Ответ: Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.

На рисунке выше представлен треугольник ABC. Его основными элементами являются:

Вершины: это точки, в которых сходятся стороны треугольника. На рисунке это точки A, B и C.

Стороны: это отрезки, соединяющие вершины. На рисунке это отрезки AB, BC и AC. Длины сторон часто обозначают малыми латинскими буквами, соответствующими противолежащим вершинам: сторона BC (напротив вершины A) обозначается как $a$, сторона AC (напротив B) — как $b$, и сторона AB (напротив C) — как $c$.

Углы: это геометрические фигуры, образованные двумя сторонами, выходящими из одной вершины. Углы треугольника обозначаются либо по названию вершины (например, $\angle A$), либо тремя буквами (например, $\angle BAC$). На рисунке показаны углы $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Важное свойство: сумма углов любого треугольника на евклидовой плоскости всегда равна $180^\circ$.

Ответ: На рисунке выше показан треугольник ABC с обозначенными вершинами (точки A, B, C), сторонами (отрезки a, b, c) и углами ($\angle A, \angle B, \angle C$).

Что такое периметр треугольника?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его трех сторон. Периметр является числовой характеристикой, которая показывает общую длину границы фигуры. Он измеряется в единицах длины (например, в сантиметрах, метрах, километрах и т.д.).

Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо измерить или знать длину каждой из его трех сторон, а затем сложить эти значения. Если длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$, то его периметр, который обычно обозначается буквой $P$, вычисляется по следующей формуле:

$P = a + b + c$

Ответ: Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

2 Какие треугольники называются равными?

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Иными словами, два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Рассмотрим два треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Их равенство записывается как $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. В этой записи важен порядок вершин, так как он указывает на то, какие именно стороны и углы являются соответствующими. Равенство $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ означает, что выполняются шесть равенств:

Равенство соответствующих сторон: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $.

Равенство соответствующих углов: $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $.

Для установления равенства треугольников на практике не обязательно проверять все шесть условий. Достаточно воспользоваться одним из трех признаков равенства треугольников, которые позволяют сделать вывод о равенстве фигур на основе равенства только трех пар их элементов.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам):
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: Равными называются треугольники, которые можно полностью совместить друг с другом путем наложения. Это означает, что их соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

3 Что такое теорема и доказательство теоремы?

Теорема

В математике и логике теорема — это утверждение, истинность которого установлена посредством доказательства. В отличие от аксиомы, которая принимается истинной без доказательств и служит отправной точкой для рассуждений, теорема является выводом из аксиом и ранее доказанных теорем.

Структура большинства теорем представляет собой импликацию, то есть утверждение вида «Если А, то В». Это можно записать в виде формулы: $A \Rightarrow B$.

• Условие (посылка) — это часть «А». Она описывает исходные данные или предположения.
• Заключение (вывод) — это часть «В». Она описывает то, что должно следовать из условия.

Пример: Теорема Пифагора.

• Условие (А): Дан прямоугольный треугольник.
• Заключение (В): Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).

Теоремы являются фундаментальными строительными блоками математического знания. Существуют также вспомогательные утверждения:

• Лемма — это вспомогательная теорема, которая сама по себе может не представлять большого интереса, но используется для доказательства более крупной и важной теоремы.
• Следствие — это утверждение, которое легко выводится из уже доказанной теоремы.

Ответ: Теорема — это математическое утверждение, истинность которого rigorously (строго) доказывается на основе аксиом и ранее доказанных утверждений. Она обычно имеет форму «если... то...», где из заданного условия логически выводится заключение.

Доказательство теоремы

Доказательство — это последовательность логических рассуждений, которая демонстрирует, что заключение теоремы является необходимым следствием её условий. Доказательство должно быть строгим, то есть каждый его шаг должен опираться на аксиомы, определения или ранее доказанные теоремы, и быть логически безупречным.

Цель доказательства — установить истинность теоремы с абсолютной достоверностью в рамках принятой аксиоматической системы. Существует несколько основных методов доказательства:

• Прямое доказательство. Рассуждение строится как цепочка выводов, которая начинается с условий теоремы и, шаг за шагом, приводит к её заключению.
• Доказательство от противного (reductio ad absurdum). Предполагается, что заключение теоремы неверно. Затем из этого предположения и условий теоремы выводится логическое противоречие (например, утверждение вида «Р и не-Р» или противоречие с аксиомой). Это означает, что исходное предположение было ложным, а значит, заключение теоремы истинно.
• Доказательство методом математической индукции. Применяется для утверждений, зависящих от натурального числа $n$. Состоит из двух шагов:
  1. База индукции: доказывается истинность утверждения для начального значения (например, $n=1$).
  2. Индукционный переход: доказывается, что если утверждение верно для некоторого натурального $n=k$ (индукционное предположение), то оно верно и для следующего числа $n=k+1$.
• Доказательство контрапозицией. Вместо того чтобы доказывать утверждение $A \Rightarrow B$, доказывается эквивалентное ему утверждение «Если не В, то не А» ($\neg B \Rightarrow \neg A$).

Пример прямого доказательства: Сумма двух четных чисел является четным числом.

1. Условие: Даны два четных числа, назовем их $m$ и $n$.
2. Определение: По определению, четное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Таким образом, $m = 2k_1$ и $n = 2k_2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
3. Логический шаг: Найдем их сумму: $m + n = 2k_1 + 2k_2$.
4. Логический шаг: Вынесем общий множитель за скобки: $m + n = 2(k_1 + k_2)$.
5. Заключение: Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Следовательно, $m+n$ представлено в виде $2$ умножить на целое число, что по определению означает, что сумма $m+n$ является четным числом. Доказательство завершено.

Ответ: Доказательство теоремы — это строгая, логически выверенная последовательность умозаключений, которая показывает, как из условий теоремы с необходимостью следует её заключение, опираясь на аксиомы и ранее установленные факты.

4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

Формулировка теоремы (первый признак равенства треугольников)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию равны две стороны и угол между ними.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство будем проводить методом наложения.

1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ также совпадет с лучом $A_1C_1$.

2. Поскольку по условию сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$, то при наложении луча $AB$ на луч $A_1B_1$ их концы, то есть точки $B$ и $B_1$, совпадут.

3. Аналогично, поскольку сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$, то при наложении луча $AC$ на луч $A_1C_1$ их концы, точки $C$ и $C_1$, также совпадут.

4. Мы получили, что при наложении совпали вершины $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$. Следовательно, стороны $BC$ и $B_1C_1$ также совпадут, так как через две точки можно провести только одну прямую (и, соответственно, один отрезок).

5. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ полностью совместился с треугольником $\triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что треугольники равны.

Теорема доказана.

Ответ: Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

5 Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

Рассмотрим точку $A$ и прямую $a$. Из точки $A$ к прямой $a$ можно провести бесконечное множество отрезков, соединяя точку $A$ с различными точками на прямой $a$.

Среди всех этих отрезков существует один особенный. Он образует с прямой $a$ прямой угол, то есть угол в $90^\circ$. Для его построения из точки $A$ проводят прямую, которая пересекает прямую $a$ под прямым углом. Пусть точка их пересечения будет $H$.

Отрезок $AH$ и будет называться перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к прямой $a$. Математически это записывается как $AH \perp a$. Точка $H$ при этом называется основанием перпендикуляра.

Ключевое свойство перпендикуляра заключается в том, что его длина является кратчайшим расстоянием от точки $A$ до прямой $a$. Любой другой отрезок, соединяющий точку $A$ с какой-либо точкой $M$ на прямой $a$ (такой отрезок называется наклонной), будет длиннее, чем перпендикуляр $AH$. Это следует из свойств прямоугольного треугольника $\triangle AHM$, в котором наклонная $AM$ является гипотенузой, а перпендикуляр $AH$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета, то $AM > AH$.

Если исходная точка лежит на самой прямой, то перпендикуляром из этой точки к прямой считается отрезок нулевой длины.

Ответ: Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой на прямой и лежит на прямой, перпендикулярной данной.

6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Сформулируйте

Теорема: Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Докажите

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Доказательство теоремы состоит из двух частей: доказательства существования перпендикуляра и доказательства его единственности.

1. Доказательство существования.

Выберем на прямой a какие-либо две точки B и C. В полуплоскости, противоположной той, где лежит точка A, построим треугольник $A_1BC$, равный треугольнику $ABC$. Такое построение всегда возможно (например, по трем сторонам: сторона BC общая, отрезки $A_1B$ и $A_1C$ строятся равными отрезкам AB и AC соответственно).

Поскольку $\triangle ABC = \triangle A_1BC$ по построению, то их соответствующие углы равны. В частности, $\angle ABC = \angle A_1BC$.

Проведем отрезок $AA_1$. Пусть он пересекает прямую a в точке H.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $A_1BH$. У них:

• сторона BH — общая;
• $AB = A_1B$ по построению;
• $\angle ABH = \angle A_1BH$ (так как это те же углы, что и $\angle ABC$ и $\angle A_1BC$).

Следовательно, $\triangle ABH = \triangle A_1BH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AHB = \angle A_1HB$.

Углы $\angle AHB$ и $\angle A_1HB$ являются смежными, так как точки A, H, $A_1$ лежат на одной прямой, а луч HB — общий. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $\angle AHB + \angle A_1HB = 180^\circ$.

Так как эти углы равны, то каждый из них равен половине их суммы: $2 \cdot \angle AHB = 180^\circ \implies \angle AHB = 90^\circ$.

Это означает, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой a. Таким образом, отрезок AH — это перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a. Существование перпендикуляра доказано.

2. Доказательство единственности.

Докажем от противного. Предположим, что из точки A к прямой a можно провести два различных перпендикуляра. Пусть один из них — это AH, а другой — AK, где K — точка на прямой a и $K \neq H$.

По нашему предположению, $AH \perp a$ и $AK \perp a$. Это означает, что $\angle AHK = 90^\circ$ и $\angle AKH = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AHK$. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$: $\angle HAK + \angle AHK + \angle AKH = 180^\circ$.

Подставим значения прямых углов в это равенство: $\angle HAK + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, $\angle HAK + 180^\circ = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle HAK = 0^\circ$. Нулевой угол означает, что точки A, H, K лежат на одной прямой. Так как точки H и K по условию лежат на прямой a, то и точка A должна лежать на прямой a.

Но это противоречит начальному условию, согласно которому точка A не лежит на прямой a. Полученное противоречие означает, что наше предположение о существовании второго перпендикуляра было неверным.

Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, единственный. Теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема о перпендикуляре гласит, что из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой перпендикуляр, и он будет единственным. Существование доказывается методом построения равного треугольника в другой полуплоскости и рассмотрения свойств полученной фигуры. Единственность доказывается методом от противного, который приводит к противоречию с теоремой о сумме углов треугольника.

7 Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Какой отрезок называется медианой треугольника?

В геометрии медианой треугольника называется отрезок, который соединяет одну из вершин треугольника с серединой противоположной этой вершине стороны.

Рассмотрим треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$. У него есть три стороны: $AB$, $BC$ и $AC$. Чтобы провести медиану, например, из вершины $A$, нужно найти середину противоположной стороны $BC$. Обозначим эту середину как точку $M$. Тогда отрезок $AM$ и будет являться медианой треугольника $ABC$. По определению середины отрезка, точка $M$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BM = MC$.

Аналогично можно провести медианы из двух других вершин.

Ответ: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Сколько медиан имеет треугольник?

Поскольку у любого треугольника есть ровно три вершины и три соответствующие им противоположные стороны, из каждой вершины можно провести по одной медиане.

• Из вершины $A$ к середине стороны $BC$.
• Из вершины $B$ к середине стороны $AC$.
• Из вершины $C$ к середине стороны $AB$.

Таким образом, у каждого треугольника существует ровно три медианы. Все три медианы всегда пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести (или центроидом) треугольника.

Ответ: Треугольник имеет три медианы.

8 Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?

В геометрии биссектрисой угла называют луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла.

Когда говорят о биссектрисе треугольника, имеют в виду не весь луч, а его часть — отрезок. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы одного из его углов, который соединяет вершину этого угла с точкой на противоположной стороне.

Например, если в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ провести отрезок $AL$ к стороне $BC$ так, что он разделит угол $\angle BAC$ на два равных угла, то есть будет выполняться равенство $\angle BAL = \angle LAC$, то отрезок $AL$ и будет являться биссектрисой треугольника $ABC$.

Ответ: Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла этого треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Сколько биссектрис имеет треугольник?

Любой треугольник имеет три вершины и, соответственно, три внутренних угла. Из каждой вершины можно провести одну биссектрису, которая разделит угол при этой вершине пополам.

Следовательно, у каждого треугольника есть ровно три биссектрисы — по одной для каждого угла.

Важным свойством биссектрис треугольника является то, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка называется центром вписанной окружности (или инцентром) и равноудалена от всех сторон треугольника.

Ответ: Треугольник имеет три биссектрисы.

9 Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Какой отрезок называется высотой треугольника?

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Эта противоположная сторона в данном случае называется основанием.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Высотой, проведенной из вершины $B$ к основанию $AC$, является отрезок $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $AC$ и выполняется условие перпендикулярности: $BH \perp AC$. Точка $H$ называется основанием высоты.
Положение высоты зависит от типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты находятся внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, а третья проводится из вершины прямого угла к гипотенузе и лежит внутри треугольника.
• В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, опускается на продолжение противолежащей стороны и оказывается вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника.

Ответ: Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника к прямой, которая содержит противоположную сторону.

Сколько высот имеет треугольник?

У любого треугольника есть три вершины и три стороны. Из каждой вершины можно провести высоту к прямой, содержащей противолежащую сторону. Следовательно, у каждого треугольника есть ровно три высоты.
Все три высоты треугольника (или их продолжения, если треугольник тупоугольный) всегда пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Ответ: Треугольник имеет три высоты.

10 Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Например, если в треугольнике $\triangle ABC$ выполняется равенство длин сторон $AB = BC$, то такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Как называются его стороны?

Стороны равнобедренного треугольника имеют специальные названия. Две равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона, которая может отличаться по длине, называется основанием треугольника. Углы при основании (углы между боковыми сторонами и основанием) также равны между собой.

Ответ: Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

11 Какой треугольник называется равносторонним?

Равносторонним треугольником (также известным как правильный треугольник) называется треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину.

Ключевые свойства равностороннего треугольника:

• Равенство сторон: Если обозначить стороны треугольника как $a, b, c$, то для равностороннего треугольника будет выполняться условие: $a = b = c$.
• Равенство углов: Следствием равенства сторон является равенство всех трех внутренних углов. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Таким образом, треугольник является равносторонним, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

1. Все три его стороны равны.
2. Все три его угла равны (и, соответственно, равны $60^\circ$).

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Он также обладает тремя осями симметрии, каждая из которых проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Ответ: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны между собой. Все углы такого треугольника также равны и составляют $60^\circ$ каждый.

12 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Требуется доказать, что углы при основании, $\angle A$ и $\angle C$, также равны.

Для доказательства выполним дополнительное построение: проведём из вершины $B$ биссектрису $BD$ к основанию $AC$. Эта биссектриса делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $BD$ разделила исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Сторона $AB$ равна стороне $BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$, так как $BD$ является биссектрисой. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Так как у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = BC$, $BD$ — общая, $\angle ABD = \angle CBD$), то эти треугольники равны: $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В нашем случае, углы $\angle A$ (он же $\angle BAD$) и $\angle C$ (он же $\angle BCD$) являются соответствующими углами, так как они лежат напротив общей стороны $BD$. Следовательно, $\angle A = \angle C$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство основано на рассмотрении двух треугольников, получаемых при проведении биссектрисы из вершины, противолежащей основанию. Эти треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), из чего следует равенство соответствующих углов при основании.

13 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Формулировка теоремы

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Проведем биссектрису $BD$ из вершины $B$, противолежащей основанию, к самому основанию $AC$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате проведения биссектрисы: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Докажем, что эти треугольники равны. Для этого сравним их элементы:

1. $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
2. $\angle ABD = \angle CBD$ (по построению, так как $BD$ — биссектриса).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны, то равны и все их соответствующие элементы:

1. Соответствующие стороны $AD$ и $CD$ равны: $AD = CD$. Это означает, что точка $D$ делит основание $AC$ на два равных отрезка, то есть $D$ — середина $AC$. Следовательно, отрезок $BD$ является медианой треугольника $ABC$.

2. Соответствующие углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ равны: $\angle BDA = \angle BDC$. Эти два угла являются смежными, и их сумма составляет $180^\circ$. Поскольку они равны, каждый из них должен быть равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $BD$ перпендикулярна основанию $AC$ ($BD \perp AC$). Следовательно, отрезок $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Теорема доказана: биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно его медианой и высотой. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой этого треугольника.

14 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

Формулировка

Теорема (второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
В $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$
$\angle C = \angle C_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Наложим треугольник $\triangle ABC$ на треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AC$ совместилась со стороной $A_1C_1$. Это возможно сделать, так как по условию теоремы $AC = A_1C_1$. В результате этого наложения вершина $A$ совместится с вершиной $A_1$, а вершина $C$ — с вершиной $C_1$.

2. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то луч $AB$ наложится на луч $A_1B_1$.

3. Так как по условию $\angle C = \angle C_1$, то луч $CB$ наложится на луч $C_1B_1$.

4. Вершина $B$ является точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$. Аналогично, вершина $B_1$ является точкой пересечения лучей $A_1B_1$ и $C_1B_1$. Поскольку при наложении луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$, а луч $CB$ совпал с лучом $C_1B_1$, то их точка пересечения $B$ обязана совпасть с точкой пересечения $B_1$.

5. Таким образом, мы показали, что все три вершины треугольника $\triangle ABC$ совмещаются с соответствующими тремя вершинами треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, треугольники полностью совмещаются, а это по определению означает, что они равны ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) гласит, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство, представленное выше, основано на методе наложения.

15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Формулировка теоремы (третий признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых стороны соответственно равны:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства воспользуемся методом наложения. Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы их наибольшие стороны, например $AC$ и $A_1C_1$, совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.

Возможны три случая расположения отрезка $BB_1$ относительно прямой $AC$:

1. Отрезок $BB_1$ пересекает прямую $AC$ во внутренней точке $D$.

Построим отрезок $BB_1$. Рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle CBB_1$.

В треугольнике $\triangle ABB_1$ стороны $AB$ и $AB_1$ равны по условию ($AB = A_1B_1$). Следовательно, $\triangle ABB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle ABD = \angle AB_1D$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle CBB_1$ стороны $CB$ и $CB_1$ равны по условию ($CB = C_1B_1$). Следовательно, $\triangle CBB_1$ также является равнобедренным с основанием $BB_1$. Углы при основании этого треугольника тоже равны: $\angle CBD = \angle CB_1D$.

Теперь рассмотрим углы $B$ и $B_1$ исходных треугольников.
Угол $B$ треугольника $ABC$ равен сумме углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.
Угол $B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ равен сумме углов: $\angle A_1B_1C_1 = \angle AB_1D + \angle CB_1D$.

Так как $\angle ABD = \angle AB_1D$ и $\angle CBD = \angle CB_1D$, то и суммы этих углов равны: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы имеем:
$AB = A_1B_1$ (по условию)
$BC = B_1C_1$ (по условию)
$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (как доказано выше)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Отрезок $BB_1$ не пересекает прямую $AC$ (точки $B$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой, проходящей через $A$ и $C$).

3. Один из концов отрезка $BB_1$ (например, $B$) лежит на прямой $AC$.

Эти два случая доказываются аналогично, только вместо сложения углов используется их вычитание. Теорема доказана для всех случаев.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема (третий признак равенства треугольников) гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.