Номер 12, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 12, страница 49.

12 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Требуется доказать, что углы при основании, $\angle A$ и $\angle C$, также равны.

Для доказательства выполним дополнительное построение: проведём из вершины $B$ биссектрису $BD$ к основанию $AC$. Эта биссектриса делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $BD$ разделила исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Сторона $AB$ равна стороне $BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$, так как $BD$ является биссектрисой. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Так как у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = BC$, $BD$ — общая, $\angle ABD = \angle CBD$), то эти треугольники равны: $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В нашем случае, углы $\angle A$ (он же $\angle BAD$) и $\angle C$ (он же $\angle BCD$) являются соответствующими углами, так как они лежат напротив общей стороны $BD$. Следовательно, $\angle A = \angle C$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство основано на рассмотрении двух треугольников, получаемых при проведении биссектрисы из вершины, противолежащей основанию. Эти треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), из чего следует равенство соответствующих углов при основании.