Номер 13, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 13, страница 49.

13 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Формулировка теоремы

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Проведем биссектрису $BD$ из вершины $B$, противолежащей основанию, к самому основанию $AC$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате проведения биссектрисы: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Докажем, что эти треугольники равны. Для этого сравним их элементы:

1. $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
2. $\angle ABD = \angle CBD$ (по построению, так как $BD$ — биссектриса).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны, то равны и все их соответствующие элементы:

1. Соответствующие стороны $AD$ и $CD$ равны: $AD = CD$. Это означает, что точка $D$ делит основание $AC$ на два равных отрезка, то есть $D$ — середина $AC$. Следовательно, отрезок $BD$ является медианой треугольника $ABC$.

2. Соответствующие углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$ равны: $\angle BDA = \angle BDC$. Эти два угла являются смежными, и их сумма составляет $180^\circ$. Поскольку они равны, каждый из них должен быть равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $BD$ перпендикулярна основанию $AC$ ($BD \perp AC$). Следовательно, отрезок $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Теорема доказана: биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно его медианой и высотой. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой этого треугольника.