Номер 14, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 14, страница 49.

14 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

Формулировка

Теорема (второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
В $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$
$\angle C = \angle C_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Наложим треугольник $\triangle ABC$ на треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AC$ совместилась со стороной $A_1C_1$. Это возможно сделать, так как по условию теоремы $AC = A_1C_1$. В результате этого наложения вершина $A$ совместится с вершиной $A_1$, а вершина $C$ — с вершиной $C_1$.

2. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то луч $AB$ наложится на луч $A_1B_1$.

3. Так как по условию $\angle C = \angle C_1$, то луч $CB$ наложится на луч $C_1B_1$.

4. Вершина $B$ является точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$. Аналогично, вершина $B_1$ является точкой пересечения лучей $A_1B_1$ и $C_1B_1$. Поскольку при наложении луч $AB$ совпал с лучом $A_1B_1$, а луч $CB$ совпал с лучом $C_1B_1$, то их точка пересечения $B$ обязана совпасть с точкой пересечения $B_1$.

5. Таким образом, мы показали, что все три вершины треугольника $\triangle ABC$ совмещаются с соответствующими тремя вершинами треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, треугольники полностью совмещаются, а это по определению означает, что они равны ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) гласит, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство, представленное выше, основано на методе наложения.