Номер 15, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 15, страница 49.
№15 (с. 49)
Условие. №15 (с. 49)
скриншот условия

15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.
Решение 2. №15 (с. 49)

Решение 4. №15 (с. 49)

Решение 11. №15 (с. 49)
Формулировка теоремы (третий признак равенства треугольников)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых стороны соответственно равны:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Для доказательства воспользуемся методом наложения. Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы их наибольшие стороны, например $AC$ и $A_1C_1$, совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.
Возможны три случая расположения отрезка $BB_1$ относительно прямой $AC$:
1. Отрезок $BB_1$ пересекает прямую $AC$ во внутренней точке $D$.
Построим отрезок $BB_1$. Рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle CBB_1$.
В треугольнике $\triangle ABB_1$ стороны $AB$ и $AB_1$ равны по условию ($AB = A_1B_1$). Следовательно, $\triangle ABB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle ABD = \angle AB_1D$.
Аналогично, в треугольнике $\triangle CBB_1$ стороны $CB$ и $CB_1$ равны по условию ($CB = C_1B_1$). Следовательно, $\triangle CBB_1$ также является равнобедренным с основанием $BB_1$. Углы при основании этого треугольника тоже равны: $\angle CBD = \angle CB_1D$.
Теперь рассмотрим углы $B$ и $B_1$ исходных треугольников.
Угол $B$ треугольника $ABC$ равен сумме углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.
Угол $B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ равен сумме углов: $\angle A_1B_1C_1 = \angle AB_1D + \angle CB_1D$.
Так как $\angle ABD = \angle AB_1D$ и $\angle CBD = \angle CB_1D$, то и суммы этих углов равны: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы имеем:
$AB = A_1B_1$ (по условию)
$BC = B_1C_1$ (по условию)
$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (как доказано выше)
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
2. Отрезок $BB_1$ не пересекает прямую $AC$ (точки $B$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой, проходящей через $A$ и $C$).
3. Один из концов отрезка $BB_1$ (например, $B$) лежит на прямой $AC$.
Эти два случая доказываются аналогично, только вместо сложения углов используется их вычитание. Теорема доказана для всех случаев.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Теорема (третий признак равенства треугольников) гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 49 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15 (с. 49), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.