Номер 18, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 18, страница 50.

18 Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.

Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, необходимо выполнить последовательность шагов, используя циркуль и линейку. Этот процесс основан на построении треугольника, равного другому треугольнику, по трем сторонам.

Пусть нам дан некоторый угол $\angle A$ и луч с началом в точке $O$.

1. Возьмем циркуль, установим его ножку в вершину $A$ данного угла и проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет стороны угла в двух точках. Назовем эти точки $B$ и $C$.
2. Не изменяя раствор циркуля (то есть сохраняя радиус $r$), установим его ножку в начало данного луча — в точку $O$. Проведем дугу того же радиуса $r$ так, чтобы она пересекла наш луч. Точку пересечения обозначим $D$.
3. Снова вернемся к исходному углу $\angle A$. Измерим циркулем расстояние между точками $B$ и $C$. Для этого установим ножку циркуля в точку $B$ и подберем раствор так, чтобы грифель оказался в точке $C$.
4. Сохраняя полученный раствор циркуля (равный длине отрезка $BC$), установим ножку циркуля в точку $D$ на нашем луче. Проведем новую дугу так, чтобы она пересеклась с дугой, построенной в шаге 2. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $E$.
5. С помощью линейки соединим точку $O$ и точку $E$, проведя луч с началом в $O$.

Полученный угол $\angle DOE$ и есть искомый угол, равный данному углу $\angle BAC$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle BAC$, образованный на исходном угле, и $\triangle DOE$, который мы построили. По построению, сторона $AB$ равна стороне $AC$ (как радиусы одной дуги), и они равны сторонам $OD$ и $OE$ (так как радиус $r$ при построении не менялся). Таким образом, $AB = AC = OD = OE = r$. Также по построению мы измерили отрезок $BC$ и построили отрезок $DE$ такой же длины, то есть $BC = DE$. Следовательно, треугольники $\triangle BAC$ и $\triangle DOE$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а значит, $\angle BAC = \angle DOE$. Построение верно.

Ответ: Чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, нужно с помощью циркуля и линейки построить на данном луче треугольник, равный треугольнику, который можно образовать на данном угле. Это достигается путем последовательного переноса длин трех сторон (двух равных радиусов и хорды между ними) с помощью циркуля.