Номер 20, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 20, страница 50.

20 Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой.

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку на ней, используются циркуль и линейка без делений. Пусть нам дана прямая a и точка M, которая лежит на этой прямой.

Алгоритм построения следующий:

1. Установим острие циркуля в данную точку M. Выберем произвольный, не равный нулю, радиус r и проведём окружность (или две дуги), которая пересечёт прямую a в двух точках. Обозначим эти точки как A и B.
2. В результате этого шага мы получили на прямой a отрезок AB, для которого точка M является серединой, так как отрезки MA и MB равны как радиусы одной окружности: $MA = MB = r$.
3. Далее, установим острие циркуля в точку A. Раствор циркуля установим на радиус R, который должен быть строго больше, чем расстояние AM (то есть $R > r$). Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом R.
4. Не меняя раствора циркуля (сохраняя радиус R), установим его острие в точку B и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как N. (Можно построить две точки пересечения по обе стороны от прямой a, но для построения прямой достаточно одной).
5. С помощью линейки проведём прямую через точку M и полученную точку N.

Прямая MN и будет искомой прямой, перпендикулярной прямой a и проходящей через точку M.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ANB$. По построению стороны $AN$ и $BN$ равны, так как они являются радиусами дуг, проведенных из точек A и B с одинаковым радиусом R ($AN = BN = R$). Следовательно, треугольник $ANB$ — равнобедренный с основанием AB. Точка M является серединой основания AB ($AM = MB$). Отрезок MN соединяет вершину N с серединой основания M, значит, MN — медиана треугольника $ANB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Таким образом, $MN \perp AB$, а значит, прямая MN перпендикулярна прямой a. Так как прямая MN проходит через точку M, построение выполнено верно.

Ответ:

Чтобы построить прямую, проходящую через данную точку M на прямой a и перпендикулярную ей, необходимо:

1. С центром в точке M провести окружность произвольного радиуса r, которая пересечет прямую a в точках A и B.
2. Из точек A и B как из центров провести две дуги одинакового радиуса $R$, где $R > r$, так, чтобы они пересеклись в точке N.
3. Провести прямую через точки M и N. Эта прямая будет перпендикулярна прямой a.