Номер 19, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 19, страница 50.

19 Объясните, как построить биссектрису данного угла.

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Построение биссектрисы выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений).

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, являющимися лучами $a$ и $b$.

Алгоритм построения

1. Поместить острие циркуля в вершину угла $O$ и провести дугу произвольного, но фиксированного радиуса $R$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух точках. Назовем их $A$ (на стороне $a$) и $B$ (на стороне $b$).

2. Теперь из точек $A$ и $B$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса $r$. Важно, чтобы радиус $r$ был одинаковым для обеих дуг и достаточно большим, чтобы они пересеклись внутри угла (например, можно взять $r = R$ или любой другой подходящий радиус).

3. Точку пересечения этих двух дуг, которая лежит внутри исходного угла, обозначим буквой $M$.

4. С помощью линейки соединим вершину угла $O$ с точкой $M$. Полученный луч $OM$ и есть биссектриса данного угла.

Доказательство

Чтобы доказать, что построенный луч $OM$ действительно является биссектрисой угла $\angle AOB$, соединим точки $A$ и $B$ с точкой $M$ и рассмотрим два образовавшихся треугольника: $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

• Сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как обе они являются радиусами $R$ первой дуги, проведенной из центра $O$ ($OA = OB = R$).

• Сторона $AM$ равна стороне $BM$, так как они являются радиусами $r$ двух одинаковых дуг, проведенных из центров $A$ и $B$ ($AM = BM = r$).

• Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие углы. Нас интересуют углы при вершине $O$. Таким образом, $\angle AOM = \angle BOM$. Это по определению означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$. Построение верное.

Ответ: Биссектриса угла строится путем последовательного выполнения геометрических построений с помощью циркуля и линейки: сначала из вершины угла проводится дуга, пересекающая его стороны, а затем из полученных точек пересечения проводятся две другие пересекающиеся дуги равного радиуса. Луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения последних двух дуг, является искомой биссектрисой.