Номер 165, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 165, страница 50.

165 Прямая а проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек A и B; б) каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой а.

а)

Пусть прямая $a$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ему ($a \perp AB$). Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $X$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMX$ и $\triangle BMX$.

В этих треугольниках:

1. $AM = MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$ по условию.
2. Сторона $XM$ — общая.
3. $\angle AMX = \angle BMX = 90^\circ$, так как $a \perp AB$ по условию.

Следовательно, $\triangle AMX = \triangle BMX$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В частности, гипотенузы $AX$ и $BX$ равны, то есть $AX = BX$.

Так как $X$ — любая точка прямой $a$, мы доказали, что каждая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Ответ: Доказано, что каждая точка прямой $a$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

б)

Пусть некоторая точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $CA = CB$. Докажем, что точка $C$ лежит на прямой $a$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $CA = CB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем медиану $CM$ к основанию $AB$. По определению медианы, $M$ является серединой отрезка $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $C$ и $M$, перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. По условию задачи, прямая $a$ и есть серединный перпендикуляр к $AB$.

Так как через точку $M$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $AB$, то прямая $CM$ совпадает с прямой $a$. А поскольку точка $C$ лежит на прямой $CM$, она также лежит и на прямой $a$.

Ответ: Доказано, что каждая точка, равноудалённая от точек $A$ и $B$, лежит на прямой $a$.