Номер 172, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 172, страница 51.
№172 (с. 51)
Условие. №172 (с. 51)
скриншот условия


172 Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 100, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Решение 2. №172 (с. 51)

Решение 3. №172 (с. 51)

Решение 4. №172 (с. 51)

Решение 6. №172 (с. 51)


Решение 7. №172 (с. 51)


Решение 9. №172 (с. 51)

Решение 11. №172 (с. 51)
Доказательство:
Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все его углы равны $60^\circ$ ($\angle CAB = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$).
Обозначим длину стороны треугольника $ABC$ как $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.
По условию задачи, стороны треугольника продолжены на равные отрезки $AD$, $CE$ и $BF$. Обозначим длину этих равных отрезков как $x$, то есть $AD = CE = BF = x$.
Как показано на рисунке, продолжения сторон выполнены циклически:
- Сторона $CA$ продолжена за вершину $A$ до точки $D$, так что точки $C, A, D$ лежат на одной прямой.
- Сторона $AB$ продолжена за вершину $B$ до точки $F$, так что точки $A, B, F$ лежат на одной прямой.
- Сторона $BC$ продолжена за вершину $C$ до точки $E$, так что точки $B, C, E$ лежат на одной прямой.
Чтобы доказать, что треугольник $DEF$ является равносторонним, мы докажем равенство треугольников $\triangle DAF$, $\triangle FBE$ и $\triangle ECD$. Для этого воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
1. Найдем длины сторон этих треугольников.
- Для $\triangle DAF$: сторона $AD = x$ (по условию), сторона $AF = AB + BF = a + x$ (так как $B$ лежит между $A$ и $F$).
- Для $\triangle FBE$: сторона $BF = x$ (по условию), сторона $BE = BC + CE = a + x$ (так как $C$ лежит между $B$ и $E$).
- Для $\triangle ECD$: сторона $CE = x$ (по условию), сторона $CD = CA + AD = a + x$ (так как $A$ лежит между $C$ и $D$).
Таким образом, получаем, что стороны $AD = BF = CE = x$ и стороны $AF = BE = CD = a+x$.
2. Найдем углы между этими сторонами.
- Угол $\angle DAF$ является смежным с внутренним углом $\angle CAB$. Следовательно, $\angle DAF = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
- Угол $\angle FBE$ является смежным с внутренним углом $\angle ABC$. Следовательно, $\angle FBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
- Угол $\angle ECD$ является смежным с внутренним углом $\angle BCA$. Следовательно, $\angle ECD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Таким образом, $\angle DAF = \angle FBE = \angle ECD = 120^\circ$.
3. Сравнение треугольников. Сравним треугольники $\triangle DAF$, $\triangle FBE$ и $\triangle ECD$. Мы установили, что:
- $AF = BE = CD$ (все равны $a+x$)
- $AD = BF = CE$ (все равны $x$)
- $\angle DAF = \angle FBE = \angle ECD$ (все равны $120^\circ$)
Так как две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то по первому признаку равенства треугольников $\triangle DAF \cong \triangle FBE \cong \triangle ECD$.
Из равенства этих треугольников следует и равенство их соответственных сторон. В нашем случае это стороны $DF$, $FE$ и $ED$. Значит, $DF = FE = ED$.
Поскольку все три стороны треугольника $DEF$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, что треугольник $DEF$ является равносторонним, доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 172 расположенного на странице 51 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №172 (с. 51), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.