Номер 176, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 176, страница 51.

176 В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники ABО и CDO равны.

Для доказательства равенства треугольников $ABO$ и $CDO$ проанализируем данные условия задачи.

1. Рассмотрим треугольник $AOC$. По условию, в этом треугольнике углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ равны. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным, а стороны, лежащие против этих углов, равны. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный, и $AO = CO$.

2. По условию, отрезки $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ лежит на обоих отрезках, и мы можем записать длины этих отрезков как сумму длин их частей:

$BC = BO + OC$

$AD = AO + OD$

3. В условии также сказано, что $BC = AD$. Приравняем выражения для этих длин:

$BO + OC = AO + OD$

Из пункта 1 мы знаем, что $AO = CO$. Подставим $AO$ вместо $CO$ в это равенство:

$BO + AO = AO + OD$

Вычитая из обеих частей равенства $AO$, получаем:

$BO = OD$

4. Теперь рассмотрим треугольники $ABO$ и $CDO$. Сравним их элементы:

• $AO = CO$ (доказано в п. 1).
• $BO = OD$ (доказано в п. 3).
• $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AD$ и $BC$).

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ABO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $CDO$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABO = \triangle CDO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABO$ и $CDO$ равны по первому признаку равенства треугольников, так как сторона $AO$ равна стороне $CO$, сторона $BO$ равна стороне $DO$, а углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.