Номер 170, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 170, страница 51.

170 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки K и K₁ так, что АK = ВK₁. Докажите, что: а) ОK = ОK₁; б) точка О лежит на прямой KK₁.

Для решения задачи сначала докажем равенство треугольников $?AOC$ и $?BOD$.

По условию, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$. Это означает, что $AO = OB$ (так как O — середина AB) и $CO = OD$ (так как O — середина CD).

Углы $?AOC$ и $?BOD$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $?AOC = ?BOD$.

Таким образом, $?AOC \cong ?BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, углов: $?CAO = ?DBO$. Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $AC$, а точка $K_1$ — на отрезке $BD$, то это равенство можно записать как $?OAK = ?OBK_1$.

а) Докажем, что $OK = OK_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $?AOK$ и $?BOK_1$. В них равны следующие элементы: сторона $AO$ равна стороне $BO$ (по условию), сторона $AK$ равна стороне $BK_1$ (по условию), и угол $?OAK$ равен углу $?OBK_1$ (как доказано выше).

Следовательно, $?AOK \cong ?BOK_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $?AOK$ и $?BOK_1$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $OK$ в $?AOK$ соответствует стороне $OK_1$ в $?BOK_1$, поэтому $OK = OK_1$.

Ответ: Равенство $OK = OK_1$ доказано.

б) Докажем, что точка $O$ лежит на прямой $KK_1$.

Чтобы доказать, что точки $K$, $O$ и $K_1$ лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $?KOK_1$ является развернутым, то есть равен $180°$.

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $?AOK \cong ?BOK_1$ следует также и равенство соответствующих углов: $?AOK = ?BOK_1$.

Точки A, O, B лежат на одной прямой, так как $AB$ — это отрезок, проходящий через $O$. Следовательно, угол $?AOB$ является развернутым и равен $180°$. Этот угол можно представить в виде суммы двух углов: $?AOB = ?AOK + ?KOB = 180°$.

Угол $?KOK_1$ можно представить как сумму углов $?KOB$ и $?BOK_1$: $?KOK_1 = ?KOB + ?BOK_1$.

Заменив в последнем выражении угол $?BOK_1$ на равный ему угол $?AOK$, получим: $?KOK_1 = ?KOB + ?AOK$.

Поскольку $?AOK + ?KOB = ?AOB = 180°$, то и $?KOK_1 = 180°$.

Так как угол $?KOK_1$ развернутый, точки $K$, $O$ и $K_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение, что точка $O$ лежит на прямой $KK_1$, доказано.