Номер 167, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 167, страница 50.

167 На рисунке 98 треугольник ADE равнобед-ренный, DE — основание. Докажите, что:

а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=АС;

б) если ∠CAD=∠BAE, то BD=СЕ и AB=АС.

а)

По условию, треугольник $ADE$ — равнобедренный с основанием $DE$. Это означает, что его боковые стороны равны, $AD = AE$, и углы при основании равны, $\angle ADE = \angle AED$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.

В этих треугольниках:

1. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).

2. $BD = CE$ (по условию пункта а).

3. $\angle ADB = \angle AEC$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABD$ (стороны $AD$ и $BD$, и угол $\angle ADB$ между ними) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle ACE$ (стороны $AE$ и $CE$, и угол $\angle AEC$ между ними). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (СУС), $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. $AB = AC$.

2. $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь докажем, что $\angle CAD = \angle BAE$. Угол $\angle BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAD = \angle CAD + \angle CAB$. Аналогично, угол $\angle CAE = \angle BAE + \angle CAB$.

Так как мы доказали, что $\angle BAD = \angle CAE$, то можем записать равенство:

$\angle CAD + \angle CAB = \angle BAE + \angle CAB$

Вычитая из обеих частей равенства общий угол $\angle CAB$, получаем:

$\angle CAD = \angle BAE$

Таким образом, доказано, что если $BD=CE$, то $\angle CAD = \angle BAE$ и $AB = AC$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

По условию, треугольник $ADE$ — равнобедренный с основанием $DE$, следовательно, $AD = AE$ и $\angle ADE = \angle AED$. Также по условию пункта б) дано, что $\angle CAD = \angle BAE$.

Прибавим к обеим частям равенства $\angle CAD = \angle BAE$ один и тот же угол $\angle CAB$. Получим:

$\angle CAD + \angle CAB = \angle BAE + \angle CAB$

Левая часть этого равенства представляет собой угол $\angle BAD$, а правая — угол $\angle CAE$. Таким образом, $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.

В этих треугольниках:

1. $\angle BAD = \angle CAE$ (как мы только что доказали).

2. $AD = AE$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника $ADE$).

3. $\angle ADB = \angle AEC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла в треугольнике $\triangle ABD$ (сторона $AD$ и углы $\angle BAD$ и $\angle ADB$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам в треугольнике $\triangle ACE$ (сторона $AE$ и углы $\angle CAE$ и $\angle AEC$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (УСУ), $\triangle ABD \cong \triangle ACE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

1. $BD = CE$.

2. $AB = AC$.

Таким образом, доказано, что если $\angle CAD = \angle BAE$, то $BD = CE$ и $AB = AC$.

Ответ: Утверждение доказано.