Номер 169, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 169, страница 51.

169 На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 99. Точки D, E, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник $DEF$ является равносторонним, докажем равенство трех треугольников, образованных на углах исходного треугольника: $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$.

По условию задачи, треугольник $\triangle ABC$ — равносторонний. Это означает, что все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$:

$AB = BC = CA$

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Также по условию, на сторонах отложены равные отрезки. Согласно рисунку, точка D лежит на стороне $AC$, точка E — на стороне $AB$, и точка F — на стороне $BC$. Равенство отрезков записывается как:

$AD = BE = CF$

Теперь найдем длины отрезков $AE$, $BF$ и $CD$. Они являются разностью между сторонами равностороннего треугольника и равными отрезками:

$AE = AB - BE$

$BF = BC - CF$

$CD = AC - AD$

Поскольку $AB = BC = AC$ и $BE = CF = AD$ (из условия), то отсюда следует, что отрезки $AE$, $BF$ и $CD$ также равны между собой:

$AE = BF = CD$

Теперь сравним треугольники $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим эти три треугольника:

• В $\triangle ADE$ стороны $AD$ и $AE$ образуют угол $\angle A$.
• В $\triangle BEF$ стороны $BE$ и $BF$ образуют угол $\angle B$.
• В $\triangle CFD$ стороны $CF$ и $CD$ образуют угол $\angle C$.

Мы установили, что соответствующие стороны и углы между ними у этих треугольников равны:

• Стороны $AD = BE = CF$ (по условию).
• Стороны $AE = BF = CD$ (доказано выше).
• Углы $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Следовательно, треугольники $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$ равны по двум сторонам и углу между ними (признак SAS).

$\triangle ADE \cong \triangle BEF \cong \triangle CFD$

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны $DE$, $EF$ и $FD$ являются третьими сторонами в этих равных треугольниках, противолежащими равным углам. Таким образом:

$DE = EF = FD$

Поскольку все три стороны треугольника $DEF$ равны, то $\triangle DEF$ является равносторонним.

Ответ: Доказано, что треугольник $DEF$ является равносторонним.