Номер 166, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 166, страница 50.

166 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ медианы AM и А₁М₁ равны, ВС = В₁С₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. По условию, $AM$ и $A_1M_1$ — медианы. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $B_1C_1$. Это означает, что $BM = \frac{1}{2}BC$ и $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$.

2. В условии также дано, что $BC = B_1C_1$. Так как отрезки $BC$ и $B_1C_1$ равны, то равны и их половины. Следовательно, $BM = B_1M_1$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $AMB$ и $A_1M_1B_1$. Сравним их элементы:

• $AM = A_1M_1$ (по условию);
• $BM = B_1M_1$ (как доказано в пункте 2);
• $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ (по условию).

Таким образом, $\triangle AMB = \triangle A_1M_1B_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $AMB$ и $A_1M_1B_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их стороны $AB$ и $A_1B_1$ и углы $\angle B$ и $\angle B_1$.

5. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:

• $AB = A_1B_1$ (как доказано в пункте 4);
• $\angle B = \angle B_1$ (как доказано в пункте 4);
• $BC = B_1C_1$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.