Номер 21, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 21, страница 50.

21 Объясните, как построить середину данного отрезка.

Для построения середины данного отрезка с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

1. Пусть дан отрезок $AB$.
2. Устанавливаем на циркуле раствор (радиус) $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$. Для уверенности можно взять радиус, равный длине самого отрезка $AB$.
3. Проводим из точки $A$ как из центра дугу окружности радиусом $R$.
4. Не меняя раствора циркуля, проводим из точки $B$ как из центра другую дугу тем же радиусом $R$.
5. Эти две дуги пересекутся в двух точках, назовем их $C$ и $D$, расположенных по разные стороны от прямой, содержащей отрезок $AB$.
6. С помощью линейки проводим прямую через точки $C$ и $D$.
7. Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является его искомой серединой. Обозначим эту точку $M$.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. По построению, $AC = AD = BC = BD = R$. Следовательно, $ACBD$ — ромб.

Диагонали ромба ($AB$ и $CD$) пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей.

Следовательно, $AM = MB$, и точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$:

• $AC = BC = R$ (по построению, как радиусы окружностей с одинаковым радиусом).
• $AD = BD = R$ (по той же причине).
• Сторона $CD$ — общая.

Таким образом, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из этого следует равенство углов: $\angle ACD = \angle BCD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$, где $M$ — точка пересечения $AB$ и $CD$:

• $AC = BC$ (по построению).
• $CM$ — общая сторона.
• $\angle ACM = \angle BCM$ (из равенства $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$).

Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства этих треугольников следует, что $AM = BM$. Это доказывает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Чтобы построить середину отрезка, нужно из его концов провести две дуги окружности одинакового радиуса (большего половины отрезка) так, чтобы они пересеклись в двух точках. Прямая, проведенная через эти две точки пересечения, пересечет исходный отрезок в его середине.