Номер 164, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 164, страница 50.

164 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть в $\triangle ABC$ основанием является сторона $AC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $BC$. В $\triangle A_1B_1C_1$ основанием является $A_1C_1$, а боковыми сторонами — $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Угол, противолежащий основанию в $\triangle ABC$, — это $\angle B$. В $\triangle A_1B_1C_1$ — это $\angle B_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренные.
2. $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.
3. $AB = A_1B_1$ (боковые стороны равны по условию).
4. $\angle B = \angle B_1$ (углы, противолежащие основаниям, равны по условию).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
По первому признаку равенства треугольников, два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
Рассмотрим стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle B$ в $\triangle ABC$, а также стороны $A_1B_1$, $B_1C_1$ и угол $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ по условию задачи ($AB = A_1B_1$).
2. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный, то его боковые стороны равны: $AB = BC$.
3. Так как $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренный, то его боковые стороны равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.
4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $BC = AB = A_1B_1 = B_1C_1$. Следовательно, сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$).
5. Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ по условию задачи ($\angle B = \angle B_1$). Этот угол является углом между сторонами $AB$ и $BC$ в первом треугольнике и между сторонами $A_1B_1$ и $B_1C_1$ во втором.

Таким образом, мы установили, что две стороны ($AB$ и $BC$) и угол между ними ($\angle B$) треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам ($A_1B_1$ и $B_1C_1$) и углу между ними ($\angle B_1$) треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника, у которых боковая сторона и угол при вершине (противолежащий основанию) одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого, равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).