Номер 163, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 163, страница 50.

163 Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 8 см. Обозначим искомую длину боковой стороны через $x$. Тогда стороны треугольника равны $x$, $x$ и 8 см.

По условию, к боковой стороне проведена медиана. Эта медиана делит боковую сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка длиной $\frac{x}{2}$. В результате исходный треугольник разделяется на два меньших треугольника.

Определим стороны этих двух треугольников. Пусть медиана имеет длину $m$.
Стороны первого треугольника: $x$ (боковая сторона), $\frac{x}{2}$ (половина другой боковой стороны) и $m$ (медиана).
Стороны второго треугольника: 8 (основание), $\frac{x}{2}$ (половина боковой стороны) и $m$ (медиана).

Периметр первого треугольника ($P_1$) равен $P_1 = x + \frac{x}{2} + m$.
Периметр второго треугольника ($P_2$) равен $P_2 = 8 + \frac{x}{2} + m$.

Из условия известно, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Это означает, что абсолютная разность их периметров равна 2:
$|P_1 - P_2| = 2$.

Подставим выражения для периметров в уравнение и упростим его:
$| (x + \frac{x}{2} + m) - (8 + \frac{x}{2} + m) | = 2$
$|x - 8| = 2$.

Данное уравнение с модулем имеет два решения:
1) $x - 8 = 2$, откуда $x = 10$.
2) $x - 8 = -2$, откуда $x = 6$.

Проверим оба найденных значения, используя неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны).
Для $x = 10$ см: стороны треугольника 10 см, 10 см, 8 см. Неравенство $10 + 8 > 10$ выполняется. Этот вариант является решением.
Для $x = 6$ см: стороны треугольника 6 см, 6 см, 8 см. Неравенство $6 + 6 > 8$ (то есть $12 > 8$) выполняется. Этот вариант также является решением.

Ответ: 10 см или 6 см.