Номер 171, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 171, страница 51.

171 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников.

Дано:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.
$O$ — середина $AB$, следовательно $AO = OB$.
$O$ — середина $CD$, следовательно $CO = OD$.
$M$ — середина $AC$, следовательно $AM = MC$.
$N$ — середина $BD$, следовательно $BN = ND$.

Доказать:
$O$ — середина отрезка $MN$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.
- $AO = BO$ (по условию, так как $O$ — середина $AB$).
- $CO = DO$ (по условию, так как $O$ — середина $CD$).
- $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).
Из этого следует, что треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:
- $AC = BD$.
- $\angle OAC = \angle OBD$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BON$.
- $AO = BO$ (по условию).
- $AM = BN$. Это верно, поскольку $M$ и $N$ — середины равных отрезков $AC$ и $BD$. То есть, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $BN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то и $AM = BN$.
- $\angle MAO = \angle NBO$. Это те же углы, что и $\angle OAC$ и $\angle OBD$, равенство которых мы установили в предыдущем шаге.
Следовательно, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BON$ также равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle AOM \cong \triangle BON$ следует равенство их соответствующих элементов:
- $MO = NO$. Это означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от точек $M$ и $N$.
- $\angle AOM = \angle BON$.

3. Осталось доказать, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
Поскольку точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (составляя отрезок $AB$), угол $\angle AOB$ является развернутым, и его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle AOM$ и $\angle MOB$. Таким образом, $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$.
Мы уже доказали, что $\angle AOM = \angle BON$. Заменим в последнем равенстве $\angle AOM$ на равный ему $\angle BON$:
$\angle BON + \angle MOB = 180^\circ$.
Сумма углов $\angle BON$ и $\angle MOB$ образует угол $\angle MON$. Следовательно, $\angle MON = 180^\circ$.
Развернутый угол означает, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что $MO = NO$ и что точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Это по определению означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $O$ является серединой отрезка $MN$.