Номер 177, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 177, страница 51.

177 На рисунке 102 AC=AD, AB⊥CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.

Обозначим точку пересечения отрезков $AB$ и $CD$ буквой $O$.

Сначала рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи $AC = AD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

Также по условию $AB \perp CD$. Следовательно, отрезок $AO$ является высотой в треугольнике $ACD$, проведенной из вершины $A$ к основанию $CD$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Таким образом, отрезок $AO$ делит основание $CD$ на две равные части: $CO = OD$.

Теперь рассмотрим треугольники $BOC$ и $BOD$. Эти треугольники являются прямоугольными, поскольку $AB \perp CD$ и, следовательно, $\angle BOC = \angle BOD = 90^\circ$.
Сравним эти треугольники:
1. Катет $CO$ равен катету $OD$ (как доказано выше).
2. Катет $BO$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $BOC$ и $BOD$ равны по двум катетам ($\triangle BOC \cong \triangle BOD$).

Из доказанного равенства треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle BOD$ следует равенство их соответствующих элементов, что позволяет доказать требуемые утверждения.

BC = BD

Поскольку $\triangle BOC \cong \triangle BOD$, их соответственные стороны равны. Стороны $BC$ и $BD$ являются гипотенузами в этих равных треугольниках. Следовательно, $BC = BD$.
Ответ: Утверждение $BC = BD$ доказано.

?ACB = ?ADB

Поскольку $\triangle BOC \cong \triangle BOD$, их соответственные углы равны. Углы $\angle BCO$ и $\angle BDO$ являются соответственными углами в этих равных треугольниках. Следовательно, $\angle BCO = \angle BDO$.
Так как точка $O$ лежит на отрезке $CD$, то угол $\angle BCO$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$, а угол $\angle BDO$ — это тот же угол, что и $\angle ADB$. Таким образом, из равенства $\angle BCO = \angle BDO$ следует, что $\angle ACB = \angle ADB$.
Ответ: Утверждение $\angle ACB = \angle ADB$ доказано.