Номер 181, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 181, страница 52.

181* При решении геометрических задач часто используют дополнительные построения. Одно из таких построений связано с методом удвоения медианы: если AM — медиана треугольника ABC, то строится отрезок АK такой, что точка M является его серединой. Докажите с помощью метода удвоения медианы, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны, если AB = А₁В₁, АС = А₁С₁, АМ = А₁М₁, где АМ и А₁М₁ — медианы треугольников.

Данная задача доказывает признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Для доказательства используется предложенный в условии метод удвоения медианы.

Дано:

Два треугольника $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$.
$AM$ — медиана $?ABC$ к стороне $BC$.
$A_1M_1$ — медиана $?A_1B_1C_1$ к стороне $B_1C_1$.
По условию: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $AM = A_1M_1$.

Доказать:

$?ABC = ?A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение в треугольнике $?ABC$. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $K$ так, что $AM = MK$. Соединим точку $K$ с вершинами $B$ и $C$.

2. В получившемся четырехугольнике $ABKC$ диагонали $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($M$ — середина $AK$ по построению, $M$ — середина $BC$ по определению медианы). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABKC$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма (противоположные стороны равны) имеем: $BK = AC$ и $CK = AB$.

3. Аналогичное построение выполним для треугольника $?A_1B_1C_1$. Продлим медиану $A_1M_1$ до точки $K_1$ так, чтобы $A_1M_1=M_1K_1$. Четырехугольник $A_1B_1K_1C_1$ также является параллелограммом, и для него верны равенства: $B_1K_1 = A_1C_1$ и $C_1K_1 = A_1B_1$.

4. Сравним треугольники $?ABK$ и $?A_1B_1K_1$ по третьему признаку равенства (по трем сторонам):
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AK = 2 \cdot AM$ и $A_1K_1 = 2 \cdot A_1M_1$. Так как $AM = A_1M_1$ (по условию), то $AK = A_1K_1$.
- $BK = AC$ (из п. 2) и $B_1K_1 = A_1C_1$ (из п. 3). Так как $AC = A_1C_1$ (по условию), то $BK = B_1K_1$.
Следовательно, $?ABK = ?A_1B_1K_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $?BAK = ?B_1A_1K_1$, что то же самое, что $?BAM = ?B_1A_1M_1$.

5. Теперь сравним треугольники $?ACK$ и $?A_1C_1K_1$ также по трем сторонам:
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $AK = A_1K_1$ (доказано в п. 4).
- $CK = AB$ (из п. 2) и $C_1K_1 = A_1B_1$ (из п. 3). Так как $AB = A_1B_1$ (по условию), то $CK = C_1K_1$.
Следовательно, $?ACK = ?A_1C_1K_1$. Из этого равенства следует, что $?CAK = ?C_1A_1K_1$, то есть $?CAM = ?C_1A_1M_1$.

6. Теперь мы можем найти величину углов $?BAC$ и $?B_1A_1C_1$.
$?BAC = ?BAM + ?CAM$.
$?B_1A_1C_1 = ?B_1A_1M_1 + ?C_1A_1M_1$.
Так как из предыдущих пунктов мы доказали, что $?BAM = ?B_1A_1M_1$ и $?CAM = ?C_1A_1M_1$, то и полные углы равны: $?BAC = ?B_1A_1C_1$.

7. Наконец, докажем равенство исходных треугольников $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними):
- $AB = A_1B_1$ (по условию).
- $AC = A_1C_1$ (по условию).
- $?BAC = ?B_1A_1C_1$ (доказано в п. 6).
Таким образом, $?ABC = ?A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано. С помощью метода удвоения медианы были построены параллелограммы $ABKC$ и $A_1B_1K_1C_1$. Сравнение вспомогательных треугольников ($?ABK$ с $?A_1B_1K_1$ и $?ACK$ с $?A_1C_1K_1$) по трем сторонам позволило установить равенство углов $?BAM = ?B_1A_1M_1$ и $?CAM = ?C_1A_1M_1$. Сложив эти углы, мы получили равенство $?BAC = ?B_1A_1C_1$. Это, вместе с данными в условии равенствами сторон $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, доказывает равенство исходных треугольников по первому признаку (две стороны и угол между ними).