Номер 186, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 186, страница 52.

186 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Анализ

Пусть $O$ — центр искомой окружности радиуса $R$, которая проходит через данные точки $A$ и $B$. По определению окружности, расстояние от центра до любой её точки равно радиусу. Следовательно, для центра $O$ должны выполняться условия $OA = R$ и $OB = R$.

Это означает, что центр $O$ должен удовлетворять двум требованиям: находиться на расстоянии $R$ от точки $A$ и на расстоянии $R$ от точки $B$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $R$, есть окружность с центром в $A$ и радиусом $R$. Аналогично для точки $B$. Таким образом, искомый центр $O$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в $A$ и радиусом $R$, и другой с центром в $B$ и радиусом $R$.

Построение

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным данному радиусу $R$.
2. Поставим острие циркуля в точку $A$ и проведем окружность (или достаточно большую дугу) $\omega_1$.
3. Не меняя раствора циркуля, поставим его острие в точку $B$ и проведем окружность (или дугу) $\omega_2$.
4. Если окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются, обозначим точки их пересечения $O_1$ и $O_2$. Эти точки являются центрами искомых окружностей.
5. Поставим острие циркуля в точку $O_1$ и, сохранив радиус $R$, проведем окружность. Эта окружность будет проходить через точки $A$ и $B$.
6. Если существует вторая точка пересечения $O_2$, аналогично построим вторую искомую окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R$.

Доказательство

Рассмотрим окружность, построенную с центром в точке $O_1$. По построению, точка $O_1$ лежит на пересечении окружности $\omega_1$ (с центром $A$ и радиусом $R$) и окружности $\omega_2$ (с центром $B$ и радиусом $R$). Так как $O_1$ принадлежит $\omega_1$, то расстояние $O_1A = R$. Так как $O_1$ принадлежит $\omega_2$, то расстояние $O_1B = R$. Следовательно, окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R$ проходит через обе точки $A$ и $B$ и имеет заданный радиус. Доказательство для окружности с центром в $O_2$ (если она существует) аналогично.

Исследование

Количество решений задачи зависит от соотношения между данным радиусом $R$ и расстоянием между точками $A$ и $B$, которое обозначим через $d$.

• Два решения: если $R > d/2$ (что эквивалентно $2R > d$). В этом случае вспомогательные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в двух точках. Существуют две искомые окружности.
• Одно решение: если $R = d/2$ (что эквивалентно $2R = d$). В этом случае вспомогательные окружности касаются в одной точке, которая является серединой отрезка $AB$. Существует одна искомая окружность, для которой отрезок $AB$ является диаметром.
• Нет решений: если $R < d/2$ (что эквивалентно $2R < d$). В этом случае вспомогательные окружности не имеют общих точек, так как расстояние между $A$ и $B$ слишком велико. Построение невозможно.

Ответ: Для построения искомой окружности (или окружностей) следует провести две вспомогательные окружности с центрами в данных точках $A$ и $B$ и радиусом, равным данному. Точки пересечения этих вспомогательных окружностей будут являться центрами искомых окружностей. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от соотношения между заданным радиусом и расстоянием между данными точками.