Номер 185, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 185, страница 52.

185 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Для решения данной задачи на построение используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая окружность должна удовлетворять трем условиям: иметь заданный радиус $R$, проходить через заданную точку $P$ и ее центр $O$ должен лежать на заданной прямой $l$.

Анализ и метод решения

Центр искомой окружности, точка $O$, должен удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Он должен лежать на данной прямой $l$. Это означает, что прямая $l$ является первым геометрическим местом точек для центра $O$.
2. Он должен находиться на расстоянии, равном данному радиусу $R$, от данной точки $P$ (поскольку окружность проходит через точку $P$). Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $P$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в $P$ и радиусом $R$. Это второе геометрическое место точек для центра $O$.

Таким образом, чтобы найти центр искомой окружности, необходимо найти точки пересечения этих двух геометрических мест: прямой $l$ и окружности с центром в $P$ и радиусом $R$.

Алгоритм построения

Пусть нам даны прямая $l$, точка $P$ и отрезок, равный радиусу $R$.

1. С помощью циркуля строим вспомогательную окружность с центром в точке $P$ и радиусом $R$.
2. Находим точки пересечения построенной вспомогательной окружности с данной прямой $l$. Эти точки (если они существуют) и будут центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.
3. Устанавливаем ножку циркуля в каждую из найденных точек пересечения (например, в $O_1$) и тем же раствором циркуля (радиусом $R$) строим окружность.

Построенная окружность (или окружности) будет искомой, так как ее центр лежит на прямой $l$, а расстояние от центра до точки $P$ равно $R$ (по построению), значит, окружность проходит через точку $P$.

Исследование числа решений

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $l$ и вспомогательной окружности, построенной с центром в точке $P$ и радиусом $R$. Пусть $d$ — это кратчайшее расстояние от точки $P$ до прямой $l$.

• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ меньше радиуса $R$ ($d < R$), то прямая и окружность пересекутся в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ равно радиусу $R$ ($d = R$), то прямая будет касаться окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ больше радиуса $R$ ($d > R$), то прямая и окружность не будут иметь общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить окружность с центром в данной точке $P$ и радиусом, равным данному радиусу $R$. Точки пересечения этой окружности с данной прямой $l$ будут центрами искомых окружностей. После нахождения центров строятся сами окружности с данным радиусом $R$. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от расстояния от точки $P$ до прямой $l$.