Номер 180, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 180, страница 52.

180* На сторонах угла ХОY отмечены точки A, B, C и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 103). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Докажите, что луч OE — биссектриса угла XOY.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $.

2. По условию задачи $ OA = OB $ и $ AC = BD $. Точки $ A, C $ лежат на луче $ OX $, а точки $ B, D $ — на луче $ OY $. Следовательно, длины отрезков $ OC $ и $ OD $ можно выразить как $ OC = OA + AC $ и $ OD = OB + BD $. Поскольку правые части этих равенств равны, то $ OC = OD $.

3. В треугольниках $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $:

• $ OA = OB $ (по условию);
• $ OD = OC $ (как доказано выше);
• $ \angle XOY $ — общий угол.

Следовательно, $ \triangle OAD \cong \triangle OBC $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $ следует равенство их соответствующих углов и сторон. В частности, $ \angle ODA = \angle OCB $ и $ AD = BC $.

5. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $.

• $ OC = OD $ (как доказано в п. 2).
• $ OE $ — общая сторона.

6. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACE $ и $ \triangle BDE $. В них:

• $ AC = BD $ (по условию).
• $ \angle ACE = \angle BDE $ (это те же углы, что и $ \angle OCB $ и $ \angle ODA $, равенство которых доказано в п. 4).
• $ \angle AEC = \angle BED $ (как вертикальные углы).

Следовательно, $ \triangle ACE \cong \triangle BDE $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует, что $ CE = DE $.

7. Вернемся к треугольникам $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $ из п. 5. Мы установили, что:

• $ OC = OD $;
• $ CE = DE $;
• $ OE $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle OCE \cong \triangle ODE $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

8. Из равенства треугольников $ \triangle OCE $ и $ \triangle ODE $ следует равенство их соответствующих углов: $ \angle COE = \angle DOE $. Это означает, что луч $ OE $ делит угол $ XOY $ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Утверждение доказано.

Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Для построения биссектрисы данного угла $XOY$ с помощью циркуля и линейки без делений, основываясь на доказанном факте, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Установить ножку циркуля в вершину угла, точку $O$, и провести дугу произвольного радиуса $r_1$, которая пересечет стороны угла в точках $A$ (на луче $OX$) и $B$ (на луче $OY$). Таким образом, мы получаем равные отрезки $OA = OB$.
2. Из точек $A$ и $B$ провести две дуги одинакового произвольного радиуса $r_2$ так, чтобы они пересекли лучи $OX$ и $OY$ соответственно в точках $C$ и $D$, лежащих дальше от вершины $O$. То есть, точка $C$ лежит на луче $OX$ за точкой $A$, а точка $D$ — на луче $OY$ за точкой $B$. Таким образом, мы получаем равные отрезки $AC = BD = r_2$.
3. С помощью линейки соединить точку $A$ с точкой $D$ и точку $B$ с точкой $C$.
4. Отметить точку $E$ как точку пересечения отрезков $AD$ и $BC$.
5. С помощью линейки провести луч $OE$.

Согласно доказанной теореме, построенный луч $OE$ будет являться биссектрисой угла $XOY$.

Ответ: Алгоритм построения описан выше в пяти шагах.