Номер 184, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 184, страница 52.

184* На боковых сторонах AB и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB = ∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.

Рассмотрим треугольники $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$.

Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, его углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Так как точка $P$ лежит на стороне $AB$ и точка $Q$ — на стороне $AC$, то $\angle PBX = \angle QCX$.

По условию, точка $X$ является серединой стороны $BC$, следовательно, отрезки $BX$ и $CX$ равны: $BX = CX$.

Также по условию нам дано равенство углов: $\angle PXB = \angle QXC$.

Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов в треугольниках $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA), заключаем, что $\triangle PXB = \triangle QXC$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $PB$ равна стороне $QC$: $PB = QC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BQC$ и $\triangle CPB$.

Сравним эти два треугольника:
1. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
2. Углы $\angle QBC$ и $\angle PCB$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle ABC$.
3. Стороны $QC$ и $PB$ равны, что было доказано на предыдущем шаге ($QC = PB$).

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle BQC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CPB$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), заключаем, что $\triangle BQC = \triangle CPB$.

Из равенства треугольников $\triangle BQC$ и $\triangle CPB$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BQ$ треугольника $\triangle BQC$ соответствует стороне $CP$ треугольника $\triangle CPB$. Следовательно, $BQ = CP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BQ = CP$ доказано.