Номер 191, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Признаки параллельности двух прямых. 26. Практические способы построения параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 191, страница 57.

191 На рисунке 111 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a || b, если:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;

б) ∠1 = ∠6;

в) ∠1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.

а)

По условию дано, что $\angle 1 = 37^\circ$ и $\angle 7 = 143^\circ$.
Для доказательства параллельности прямых a и b воспользуемся одним из признаков параллельности. Найдем величины накрест лежащих внутренних углов $\angle 4$ и $\angle 5$.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 4$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой a. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle 4 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.
2. Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых b и c. Вертикальные углы равны.
Следовательно, $\angle 5 = \angle 7 = 143^\circ$.
3. Углы $\angle 4$ и $\angle 5$ являются накрест лежащими внутренними углами при пересечении прямых a и b секущей c. Мы получили, что $\angle 4 = 143^\circ$ и $\angle 5 = 143^\circ$, то есть $\angle 4 = \angle 5$.
По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Ответ: Так как накрест лежащие углы $\angle 4$ и $\angle 5$ равны, то $a \parallel b$.

б)

По условию дано, что $\angle 1 = \angle 6$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 6$ являются накрест лежащими внешними углами при пересечении прямых a и b секущей c.
Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие внешние углы равны, то прямые параллельны.
Так как по условию $\angle 1 = \angle 6$, то прямые a и b параллельны, что и требовалось доказать.
Ответ: Так как накрест лежащие внешние углы $\angle 1$ и $\angle 6$ равны по условию, то $a \parallel b$.

в)

По условию дано, что $\angle 1 = 45^\circ$, а угол $\angle 7$ в 3 раза больше угла $\angle 3$, то есть $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3$.
Для доказательства параллельности прямых a и b найдем и сравним градусные меры углов, исходя из признаков параллельности.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными. Следовательно, они равны: $\angle 3 = \angle 1 = 45^\circ$.
2. Теперь, зная $\angle 3$, найдем $\angle 7$ из условия: $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
3. Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются вертикальными, значит, $\angle 5 = \angle 7 = 135^\circ$.
4. Рассмотрим углы $\angle 3$ и $\angle 5$. Они являются односторонними внутренними углами. Найдем их сумму: $\angle 3 + \angle 5 = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
По признаку параллельности прямых, если сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.
Ответ: Так как сумма односторонних внутренних углов $\angle 3$ и $\angle 5$ равна $180^\circ$, то $a \parallel b$.