Номер 187, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 187, страница 52.

187 Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC = PQ.

Для решения задачи необходимо найти положение вершины $C$ треугольника $ABC$. Согласно условию, эта вершина должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, лежать на прямой $a$, и во-вторых, находиться на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, от вершины $A$ ($AC = PQ$).

Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию — это сама прямая $a$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = PQ$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения прямой $a$ и этой окружности.

Алгоритм построения следующий:
1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим окружность (или ее дугу, достаточную для пересечения с прямой $a$) радиусом $R=PQ$.
3. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ являются возможными положениями вершины $C$.
4. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и каждую из найденных точек $C$, чтобы получить искомый треугольник (или треугольники) $ABC$.

Построенная точка $C$ по определению лежит на прямой $a$. Так как она также лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $R=PQ$, то расстояние $AC$ равно $PQ$. Таким образом, оба условия задачи выполнены, и построение корректно.

Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения прямой $a$ и построенной окружности. Пусть $d$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$ (длина перпендикуляра).
• Если расстояние $d$ меньше длины отрезка $PQ$ ($d < PQ$), то прямая и окружность пересекутся в двух точках. Задача будет иметь два решения.
• Если расстояние $d$ равно длине отрезка $PQ$ ($d = PQ$), то прямая будет касаться окружности в одной точке. Задача будет иметь одно решение.
• Если расстояние $d$ больше длины отрезка $PQ$ ($d > PQ$), то прямая и окружность не будут иметь общих точек. Задача не будет иметь решений.

Ответ: Для построения треугольника $ABC$ необходимо найти точки пересечения прямой $a$ и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Найденные точки пересечения будут являться вершиной $C$. Затем следует соединить точки $A$, $B$ и $C$. В зависимости от взаимного расположения точки $A$, прямой $a$ и длины отрезка $PQ$, задача может иметь два, одно или ни одного решения.