Номер 183, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 183, страница 52.

183* Даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно, то есть все три отрезка равны друг другу: $AD = BD = CD$.

Пусть длина этих равных отрезков равна некоему значению $R$. По определению, множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра), является окружностью. В нашем случае, поскольку точки $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии $R$ от точки $D$, они все должны лежать на окружности с центром в точке $D$ и радиусом $R$.

Однако по условию задачи точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Так как в задаче рассматриваются три отрезка $AD$, $BD$ и $CD$, мы исходим из того, что точки $A$, $B$ и $C$ различны. Известно, что прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек пересечения. Следовательно, три различные точки $A$, $B$ и $C$ не могут одновременно принадлежать и одной прямой, и одной окружности.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Таким образом, равенство $AD = BD = CD$ невозможно. А это и означает, что по крайней мере два из трёх отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ не равны друг другу.

Ответ: Что и требовалось доказать.