Номер 179, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 179, страница 52.

179* Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ВС = B₁С₁.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие равенства:
1. $\angle A = \angle A_1$
2. $\angle B = \angle B_1$
3. $BC = B_1C_1$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая утверждает, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle ABC$ мы можем выразить угол $\angle C$ через два других известных угла:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Аналогично, для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ выразим угол $\angle C_1$:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$

Так как по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, мы можем заменить углы в выражении для $\angle C_1$ на равные им углы из $\triangle ABC$. Получим:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Сравнивая выражения для $\angle C$ и $\angle C_1$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$.

Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Рассмотрим элементы треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:
- Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ (по условию).
- Угол $\angle B$, прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle B_1$, прилежащему к стороне $B_1C_1$ (по условию).
- Угол $\angle C$, также прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle C_1$, прилежащему к стороне $B_1C_1$ (как мы доказали выше).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано путём сведения задачи ко второму признаку равенства треугольников.