Номер 174, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 174, страница 51.

174 На рисунке 101 ОС=OD, ОВ=ОЕ. Докажите, что AB=EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче.

Докажите, что AB = EF.

Для доказательства равенства отрезков $AB$ и $EF$ рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $.
В этих треугольниках:
1. $ OB = OE $ по условию задачи. На рисунке эти стороны отмечены двумя штрихами.
2. Угол $ \angle AOB $ равен углу $ \angle FOE $, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AF$ и $BE$.
3. Для того чтобы доказать равенство треугольников, необходимо также равенство сторон $AO$ и $FO$. Данный практический метод измерения, который объясняется во второй части задачи, как раз и предполагает такое построение, при котором $AO = FO$. (Условие $OC=OD$, данное в задаче, вероятно, является опечаткой, так как оно не позволяет доказать требуемое равенство $AB=EF$).
Таким образом, мы имеем два треугольника, $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны ($AO = FO$, $BO = OE$, $ \angle AOB = \angle FOE $).
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $ \triangle AOB \cong \triangle FOE $.
Из равенства (конгруэнтности) треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а значит, $AB = EF$.

Ответ: Равенство $AB = EF$ следует из равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), при условии, что $AO = FO$ и $BO = OE$ по построению, а $ \angle AOB = \angle FOE $ как вертикальные углы.

Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче.

Этот метод позволяет измерить недоступное расстояние, такое как ширина озера $AB$, используя свойство равенства треугольников. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти на берегу точку $O$, из которой хорошо видны обе точки $A$ и $B$, расстояние между которыми нужно измерить.
2. С помощью рулетки или другого инструмента измерить расстояние от точки $O$ до точки $A$ (длину отрезка $AO$).
3. Продолжить прямую $AO$ за точку $O$ и отложить на ней отрезок $OF$, равный по длине отрезку $AO$. Отметить точку $F$ на местности.
4. Аналогично измерить расстояние $BO$ и на продолжении прямой $BO$ за точку $O$ отложить отрезок $OE$, равный $BO$. Отметить точку $E$.
5. В результате этих построений на доступной местности будет создан треугольник $ \triangle FOE $. Как было доказано выше, этот треугольник равен треугольнику $ \triangle AOB $.
6. Следовательно, искомая ширина озера $AB$ равна длине стороны $EF$ построенного треугольника.
7. Длину отрезка $EF$ можно измерить напрямую, так как он полностью находится на суше. Полученное значение и будет равно ширине озера.

Ответ: Для измерения ширины озера $AB$ необходимо выбрать точку $O$ на берегу, отложить отрезки $OF=AO$ на продолжении прямой $AO$ и $OE=BO$ на продолжении прямой $BO$, а затем измерить расстояние между точками $E$ и $F$. Это расстояние будет равно искомой ширине озера $AB$.