Страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

169 На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 99. Точки D, E, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник $DEF$ является равносторонним, докажем равенство трех треугольников, образованных на углах исходного треугольника: $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$.

По условию задачи, треугольник $\triangle ABC$ — равносторонний. Это означает, что все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$:

$AB = BC = CA$

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Также по условию, на сторонах отложены равные отрезки. Согласно рисунку, точка D лежит на стороне $AC$, точка E — на стороне $AB$, и точка F — на стороне $BC$. Равенство отрезков записывается как:

$AD = BE = CF$

Теперь найдем длины отрезков $AE$, $BF$ и $CD$. Они являются разностью между сторонами равностороннего треугольника и равными отрезками:

$AE = AB - BE$

$BF = BC - CF$

$CD = AC - AD$

Поскольку $AB = BC = AC$ и $BE = CF = AD$ (из условия), то отсюда следует, что отрезки $AE$, $BF$ и $CD$ также равны между собой:

$AE = BF = CD$

Теперь сравним треугольники $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим эти три треугольника:

• В $\triangle ADE$ стороны $AD$ и $AE$ образуют угол $\angle A$.
• В $\triangle BEF$ стороны $BE$ и $BF$ образуют угол $\angle B$.
• В $\triangle CFD$ стороны $CF$ и $CD$ образуют угол $\angle C$.

Мы установили, что соответствующие стороны и углы между ними у этих треугольников равны:

• Стороны $AD = BE = CF$ (по условию).
• Стороны $AE = BF = CD$ (доказано выше).
• Углы $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Следовательно, треугольники $\triangle ADE$, $\triangle BEF$ и $\triangle CFD$ равны по двум сторонам и углу между ними (признак SAS).

$\triangle ADE \cong \triangle BEF \cong \triangle CFD$

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны $DE$, $EF$ и $FD$ являются третьими сторонами в этих равных треугольниках, противолежащими равным углам. Таким образом:

$DE = EF = FD$

Поскольку все три стороны треугольника $DEF$ равны, то $\triangle DEF$ является равносторонним.

Ответ: Доказано, что треугольник $DEF$ является равносторонним.

170 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки K и K₁ так, что АK = ВK₁. Докажите, что: а) ОK = ОK₁; б) точка О лежит на прямой KK₁.

Для решения задачи сначала докажем равенство треугольников $?AOC$ и $?BOD$.

По условию, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$. Это означает, что $AO = OB$ (так как O — середина AB) и $CO = OD$ (так как O — середина CD).

Углы $?AOC$ и $?BOD$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $?AOC = ?BOD$.

Таким образом, $?AOC \cong ?BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности, углов: $?CAO = ?DBO$. Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $AC$, а точка $K_1$ — на отрезке $BD$, то это равенство можно записать как $?OAK = ?OBK_1$.

а) Докажем, что $OK = OK_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $?AOK$ и $?BOK_1$. В них равны следующие элементы: сторона $AO$ равна стороне $BO$ (по условию), сторона $AK$ равна стороне $BK_1$ (по условию), и угол $?OAK$ равен углу $?OBK_1$ (как доказано выше).

Следовательно, $?AOK \cong ?BOK_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $?AOK$ и $?BOK_1$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $OK$ в $?AOK$ соответствует стороне $OK_1$ в $?BOK_1$, поэтому $OK = OK_1$.

Ответ: Равенство $OK = OK_1$ доказано.

б) Докажем, что точка $O$ лежит на прямой $KK_1$.

Чтобы доказать, что точки $K$, $O$ и $K_1$ лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $?KOK_1$ является развернутым, то есть равен $180°$.

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $?AOK \cong ?BOK_1$ следует также и равенство соответствующих углов: $?AOK = ?BOK_1$.

Точки A, O, B лежат на одной прямой, так как $AB$ — это отрезок, проходящий через $O$. Следовательно, угол $?AOB$ является развернутым и равен $180°$. Этот угол можно представить в виде суммы двух углов: $?AOB = ?AOK + ?KOB = 180°$.

Угол $?KOK_1$ можно представить как сумму углов $?KOB$ и $?BOK_1$: $?KOK_1 = ?KOB + ?BOK_1$.

Заменив в последнем выражении угол $?BOK_1$ на равный ему угол $?AOK$, получим: $?KOK_1 = ?KOB + ?AOK$.

Поскольку $?AOK + ?KOB = ?AOB = 180°$, то и $?KOK_1 = 180°$.

Так как угол $?KOK_1$ развернутый, точки $K$, $O$ и $K_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение, что точка $O$ лежит на прямой $KK_1$, доказано.

171 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников.

Дано:
Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.
$O$ — середина $AB$, следовательно $AO = OB$.
$O$ — середина $CD$, следовательно $CO = OD$.
$M$ — середина $AC$, следовательно $AM = MC$.
$N$ — середина $BD$, следовательно $BN = ND$.

Доказать:
$O$ — середина отрезка $MN$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.
- $AO = BO$ (по условию, так как $O$ — середина $AB$).
- $CO = DO$ (по условию, так как $O$ — середина $CD$).
- $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).
Из этого следует, что треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:
- $AC = BD$.
- $\angle OAC = \angle OBD$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BON$.
- $AO = BO$ (по условию).
- $AM = BN$. Это верно, поскольку $M$ и $N$ — середины равных отрезков $AC$ и $BD$. То есть, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $BN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то и $AM = BN$.
- $\angle MAO = \angle NBO$. Это те же углы, что и $\angle OAC$ и $\angle OBD$, равенство которых мы установили в предыдущем шаге.
Следовательно, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BON$ также равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle AOM \cong \triangle BON$ следует равенство их соответствующих элементов:
- $MO = NO$. Это означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от точек $M$ и $N$.
- $\angle AOM = \angle BON$.

3. Осталось доказать, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
Поскольку точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (составляя отрезок $AB$), угол $\angle AOB$ является развернутым, и его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle AOM$ и $\angle MOB$. Таким образом, $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$.
Мы уже доказали, что $\angle AOM = \angle BON$. Заменим в последнем равенстве $\angle AOM$ на равный ему $\angle BON$:
$\angle BON + \angle MOB = 180^\circ$.
Сумма углов $\angle BON$ и $\angle MOB$ образует угол $\angle MON$. Следовательно, $\angle MON = 180^\circ$.
Развернутый угол означает, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что $MO = NO$ и что точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Это по определению означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

172 Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 100, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Доказательство:

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все его углы равны $60^\circ$ ($\angle CAB = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$).

Обозначим длину стороны треугольника $ABC$ как $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.

По условию задачи, стороны треугольника продолжены на равные отрезки $AD$, $CE$ и $BF$. Обозначим длину этих равных отрезков как $x$, то есть $AD = CE = BF = x$.

Как показано на рисунке, продолжения сторон выполнены циклически:

• Сторона $CA$ продолжена за вершину $A$ до точки $D$, так что точки $C, A, D$ лежат на одной прямой.
• Сторона $AB$ продолжена за вершину $B$ до точки $F$, так что точки $A, B, F$ лежат на одной прямой.
• Сторона $BC$ продолжена за вершину $C$ до точки $E$, так что точки $B, C, E$ лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что треугольник $DEF$ является равносторонним, мы докажем равенство треугольников $\triangle DAF$, $\triangle FBE$ и $\triangle ECD$. Для этого воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Найдем длины сторон этих треугольников.

• Для $\triangle DAF$: сторона $AD = x$ (по условию), сторона $AF = AB + BF = a + x$ (так как $B$ лежит между $A$ и $F$).
• Для $\triangle FBE$: сторона $BF = x$ (по условию), сторона $BE = BC + CE = a + x$ (так как $C$ лежит между $B$ и $E$).
• Для $\triangle ECD$: сторона $CE = x$ (по условию), сторона $CD = CA + AD = a + x$ (так как $A$ лежит между $C$ и $D$).

Таким образом, получаем, что стороны $AD = BF = CE = x$ и стороны $AF = BE = CD = a+x$.

2. Найдем углы между этими сторонами.

• Угол $\angle DAF$ является смежным с внутренним углом $\angle CAB$. Следовательно, $\angle DAF = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• Угол $\angle FBE$ является смежным с внутренним углом $\angle ABC$. Следовательно, $\angle FBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• Угол $\angle ECD$ является смежным с внутренним углом $\angle BCA$. Следовательно, $\angle ECD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, $\angle DAF = \angle FBE = \angle ECD = 120^\circ$.

3. Сравнение треугольников. Сравним треугольники $\triangle DAF$, $\triangle FBE$ и $\triangle ECD$. Мы установили, что:

• $AF = BE = CD$ (все равны $a+x$)
• $AD = BF = CE$ (все равны $x$)
• $\angle DAF = \angle FBE = \angle ECD$ (все равны $120^\circ$)

Так как две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то по первому признаку равенства треугольников $\triangle DAF \cong \triangle FBE \cong \triangle ECD$.

Из равенства этих треугольников следует и равенство их соответственных сторон. В нашем случае это стороны $DF$, $FE$ и $ED$. Значит, $DF = FE = ED$.

Поскольку все три стороны треугольника $DEF$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что треугольник $DEF$ является равносторонним, доказано.

173 В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне АС отмечены точки D и E так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD = DA, BE = EC. Найдите угол DBE.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию задачи, отрезок $BD$ равен отрезку $DA$ ($BD=DA$). Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle A$.

$\angle ABD = \angle A = 38^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BEC$. По условию, отрезок $BE$ равен отрезку $EC$ ($BE=EC$). Это означает, что треугольник $BEC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Углы при основании этого треугольника также равны. Следовательно, угол $\angle EBC$ равен углу $\angle C$.

$\angle EBC = \angle C = 32^\circ$.

Угол $B$ большого треугольника $ABC$ (обозначаемый как $\angle ABC$) равен $110^\circ$ по условию. Так как точки $D$ и $E$ лежат на стороне $AC$, угол $\angle ABC$ состоит из суммы трех углов: $\angle ABD$, $\angle DBE$ и $\angle EBC$.

Мы можем записать следующее равенство: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBE + \angle EBC$.

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти искомый угол $\angle DBE$: $110^\circ = 38^\circ + \angle DBE + 32^\circ$.

Сгруппируем и сложим известные углы: $110^\circ = (38^\circ + 32^\circ) + \angle DBE$ $110^\circ = 70^\circ + \angle DBE$.

Выразим $\angle DBE$: $\angle DBE = 110^\circ - 70^\circ$ $\angle DBE = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

174 На рисунке 101 ОС=OD, ОВ=ОЕ. Докажите, что AB=EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче.

Докажите, что AB = EF.

Для доказательства равенства отрезков $AB$ и $EF$ рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $.
В этих треугольниках:
1. $ OB = OE $ по условию задачи. На рисунке эти стороны отмечены двумя штрихами.
2. Угол $ \angle AOB $ равен углу $ \angle FOE $, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AF$ и $BE$.
3. Для того чтобы доказать равенство треугольников, необходимо также равенство сторон $AO$ и $FO$. Данный практический метод измерения, который объясняется во второй части задачи, как раз и предполагает такое построение, при котором $AO = FO$. (Условие $OC=OD$, данное в задаче, вероятно, является опечаткой, так как оно не позволяет доказать требуемое равенство $AB=EF$).
Таким образом, мы имеем два треугольника, $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны ($AO = FO$, $BO = OE$, $ \angle AOB = \angle FOE $).
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $ \triangle AOB \cong \triangle FOE $.
Из равенства (конгруэнтности) треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а значит, $AB = EF$.

Ответ: Равенство $AB = EF$ следует из равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle FOE $ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), при условии, что $AO = FO$ и $BO = OE$ по построению, а $ \angle AOB = \angle FOE $ как вертикальные углы.

Объясните способ измерения ширины озера (отрезка AB на рисунке 101), основанный на этой задаче.

Этот метод позволяет измерить недоступное расстояние, такое как ширина озера $AB$, используя свойство равенства треугольников. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти на берегу точку $O$, из которой хорошо видны обе точки $A$ и $B$, расстояние между которыми нужно измерить.
2. С помощью рулетки или другого инструмента измерить расстояние от точки $O$ до точки $A$ (длину отрезка $AO$).
3. Продолжить прямую $AO$ за точку $O$ и отложить на ней отрезок $OF$, равный по длине отрезку $AO$. Отметить точку $F$ на местности.
4. Аналогично измерить расстояние $BO$ и на продолжении прямой $BO$ за точку $O$ отложить отрезок $OE$, равный $BO$. Отметить точку $E$.
5. В результате этих построений на доступной местности будет создан треугольник $ \triangle FOE $. Как было доказано выше, этот треугольник равен треугольнику $ \triangle AOB $.
6. Следовательно, искомая ширина озера $AB$ равна длине стороны $EF$ построенного треугольника.
7. Длину отрезка $EF$ можно измерить напрямую, так как он полностью находится на суше. Полученное значение и будет равно ширине озера.

Ответ: Для измерения ширины озера $AB$ необходимо выбрать точку $O$ на берегу, отложить отрезки $OF=AO$ на продолжении прямой $AO$ и $OE=BO$ на продолжении прямой $BO$, а затем измерить расстояние между точками $E$ и $F$. Это расстояние будет равно искомой ширине озера $AB$.

175 Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$ и $AD = A_1D_1$.

Так как $AD$ и $A_1D_1$ являются биссектрисами равных углов $\angle A$ и $\angle A_1$ соответственно, то углы $\angle BAD$ и $\angle B_1A_1D_1$ равны как половины равных углов: $\angle BAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A_1 = \angle B_1A_1D_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$, сторона $AD$ равна стороне $A_1D_1$, и угол между ними $\angle BAD$ равен углу $\angle B_1A_1D_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответственных элементов. В частности, угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ равен углу $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$, так как они лежат напротив равных сторон $AD$ и $A_1D_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию $AB = A_1B_1$ и $\angle A = \angle A_1$. Как мы только что доказали, $\angle B = \angle B_1$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Сначала доказывается равенство треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ по первому признаку (сторона-угол-сторона), используя данные $AB=A_1B_1$, $AD=A_1D_1$ и равенство углов $\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$ (как половин равных углов $\angle A$ и $\angle A_1$). Из равенства $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ следует, что $\angle B = \angle B_1$. Затем доказывается равенство исходных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по второму признаку (угол-сторона-угол), используя данные $AB=A_1B_1$, $\angle A=\angle A_1$ и доказанное равенство $\angle B = \angle B_1$.

176 В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники ABО и CDO равны.

Для доказательства равенства треугольников $ABO$ и $CDO$ проанализируем данные условия задачи.

1. Рассмотрим треугольник $AOC$. По условию, в этом треугольнике углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ равны. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным, а стороны, лежащие против этих углов, равны. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный, и $AO = CO$.

2. По условию, отрезки $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ лежит на обоих отрезках, и мы можем записать длины этих отрезков как сумму длин их частей:

$BC = BO + OC$

$AD = AO + OD$

3. В условии также сказано, что $BC = AD$. Приравняем выражения для этих длин:

$BO + OC = AO + OD$

Из пункта 1 мы знаем, что $AO = CO$. Подставим $AO$ вместо $CO$ в это равенство:

$BO + AO = AO + OD$

Вычитая из обеих частей равенства $AO$, получаем:

$BO = OD$

4. Теперь рассмотрим треугольники $ABO$ и $CDO$. Сравним их элементы:

• $AO = CO$ (доказано в п. 1).
• $BO = OD$ (доказано в п. 3).
• $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AD$ и $BC$).

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ABO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $CDO$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABO = \triangle CDO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABO$ и $CDO$ равны по первому признаку равенства треугольников, так как сторона $AO$ равна стороне $CO$, сторона $BO$ равна стороне $DO$, а углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.

177 На рисунке 102 AC=AD, AB⊥CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.

Обозначим точку пересечения отрезков $AB$ и $CD$ буквой $O$.

Сначала рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи $AC = AD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

Также по условию $AB \perp CD$. Следовательно, отрезок $AO$ является высотой в треугольнике $ACD$, проведенной из вершины $A$ к основанию $CD$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Таким образом, отрезок $AO$ делит основание $CD$ на две равные части: $CO = OD$.

Теперь рассмотрим треугольники $BOC$ и $BOD$. Эти треугольники являются прямоугольными, поскольку $AB \perp CD$ и, следовательно, $\angle BOC = \angle BOD = 90^\circ$.
Сравним эти треугольники:
1. Катет $CO$ равен катету $OD$ (как доказано выше).
2. Катет $BO$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $BOC$ и $BOD$ равны по двум катетам ($\triangle BOC \cong \triangle BOD$).

Из доказанного равенства треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle BOD$ следует равенство их соответствующих элементов, что позволяет доказать требуемые утверждения.

BC = BD

Поскольку $\triangle BOC \cong \triangle BOD$, их соответственные стороны равны. Стороны $BC$ и $BD$ являются гипотенузами в этих равных треугольниках. Следовательно, $BC = BD$.
Ответ: Утверждение $BC = BD$ доказано.

?ACB = ?ADB

Поскольку $\triangle BOC \cong \triangle BOD$, их соответственные углы равны. Углы $\angle BCO$ и $\angle BDO$ являются соответственными углами в этих равных треугольниках. Следовательно, $\angle BCO = \angle BDO$.
Так как точка $O$ лежит на отрезке $CD$, то угол $\angle BCO$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$, а угол $\angle BDO$ — это тот же угол, что и $\angle ADB$. Таким образом, из равенства $\angle BCO = \angle BDO$ следует, что $\angle ACB = \angle ADB$.
Ответ: Утверждение $\angle ACB = \angle ADB$ доказано.