Страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

191 На рисунке 111 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a || b, если:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;

б) ∠1 = ∠6;

в) ∠1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.

По условию дано, что $\angle 1 = 37^\circ$ и $\angle 7 = 143^\circ$.
Для доказательства параллельности прямых a и b воспользуемся одним из признаков параллельности. Найдем величины накрест лежащих внутренних углов $\angle 4$ и $\angle 5$.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 4$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой a. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle 4 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.
2. Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых b и c. Вертикальные углы равны.
Следовательно, $\angle 5 = \angle 7 = 143^\circ$.
3. Углы $\angle 4$ и $\angle 5$ являются накрест лежащими внутренними углами при пересечении прямых a и b секущей c. Мы получили, что $\angle 4 = 143^\circ$ и $\angle 5 = 143^\circ$, то есть $\angle 4 = \angle 5$.
По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Ответ: Так как накрест лежащие углы $\angle 4$ и $\angle 5$ равны, то $a \parallel b$.

По условию дано, что $\angle 1 = \angle 6$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 6$ являются накрест лежащими внешними углами при пересечении прямых a и b секущей c.
Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие внешние углы равны, то прямые параллельны.
Так как по условию $\angle 1 = \angle 6$, то прямые a и b параллельны, что и требовалось доказать.
Ответ: Так как накрест лежащие внешние углы $\angle 1$ и $\angle 6$ равны по условию, то $a \parallel b$.

По условию дано, что $\angle 1 = 45^\circ$, а угол $\angle 7$ в 3 раза больше угла $\angle 3$, то есть $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3$.
Для доказательства параллельности прямых a и b найдем и сравним градусные меры углов, исходя из признаков параллельности.
1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными. Следовательно, они равны: $\angle 3 = \angle 1 = 45^\circ$.
2. Теперь, зная $\angle 3$, найдем $\angle 7$ из условия: $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
3. Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются вертикальными, значит, $\angle 5 = \angle 7 = 135^\circ$.
4. Рассмотрим углы $\angle 3$ и $\angle 5$. Они являются односторонними внутренними углами. Найдем их сумму: $\angle 3 + \angle 5 = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
По признаку параллельности прямых, если сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.
Ответ: Так как сумма односторонних внутренних углов $\angle 3$ и $\angle 5$ равна $180^\circ$, то $a \parallel b$.

192 По данным рисунка 112 докажите, что AB||DE.

Для доказательства того, что $AB \parallel DE$, мы воспользуемся признаками равенства треугольников и признаками параллельности прямых.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$.

1. По данным рисунка, сторона $AC$ равна стороне $CE$ (обе отмечены одной черточкой), то есть $AC = CE$.
2. Также по данным рисунка, сторона $BC$ равна стороне $CD$ (обе отмечены двумя черточками), то есть $BC = CD$.
3. Углы $\angle ACB$ и $\angle ECD$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AE$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ACB = \angle ECD$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle EDC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их соответствующие углы:

$\angle BAC = \angle DEC$

Углы $\angle BAC$ и $\angle DEC$ являются накрест лежащими углами при прямых $AB$ и $DE$ и секущей $AE$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Так как $\angle BAC = \angle DEC$, то прямые $AB$ и $DE$ параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AB$ и $DE$ параллельны, так как накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle DEC$ при секущей $AE$ равны, что следует из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$ по двум сторонам и углу между ними.

193 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

Пусть отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, точка $O$ является их общей серединой. Это означает, что она делит каждый отрезок пополам, то есть $AO = OB$ и $CO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Сравним эти два треугольника по следующим элементам:
1. $AO = OB$ (по условию, так как $O$ — середина отрезка $AB$).
2. $CO = OD$ (по условию, так как $O$ — середина отрезка $CD$).
3. $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AB$ и $CD$).

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, $\angle CAO = \angle DBO$.

Углы $\angle CAO$ и $\angle DBO$ являются внутренними накрест лежащими углами при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны, то есть $AC \parallel BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

194 Используя данные рисунка 113, докажите, что ВС||AD.

Рассмотрим $\triangle ABC$.

По условию, заданному на рисунке, стороны $AB$ и $BC$ равны, что обозначено одинаковыми штрихами. Следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $?BCA = ?BAC$.

Также по условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, что обозначено одинаковыми дугами. Это означает, что $AC$ делит угол $BAD$ на два равных угла: $?BAC = ?CAD$.

Из полученных равенств $?BCA = ?BAC$ и $?BAC = ?CAD$ следует, что $?BCA = ?CAD$.

Углы $?BCA$ и $?CAD$ являются накрест лежащими углами при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как $?BCA = ?CAD$, то мы можем сделать вывод, что $BC \parallel AD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

195 На рисунке 114 AB=ВС, AD=DE, ∠C=70°, ∠EAC=35°. Докажите, что DE||AC.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle C$. Поскольку $\angle C = 70^\circ$, то и $\angle BAC = 70^\circ$.

Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов: $\angle DAE$ и $\angle EAC$. Следовательно, $\angle BAC = \angle DAE + \angle EAC$. Из этого равенства мы можем найти величину угла $\angle DAE$:
$\angle DAE = \angle BAC - \angle EAC = 70^\circ - 35^\circ = 35^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. По условию $AD = DE$, значит, треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DEA = \angle DAE$. Так как мы вычислили, что $\angle DAE = 35^\circ$, то и $\angle DEA = 35^\circ$.

Рассмотрим прямые $DE$ и $AC$ и секущую $AE$, которая их пересекает. Углы $\angle DEA$ и $\angle EAC$ являются накрест лежащими. Мы установили, что $\angle DEA = 35^\circ$, и по условию задачи $\angle EAC = 35^\circ$. Так как накрест лежащие углы равны ($\angle DEA = \angle EAC$), то по признаку параллельности прямых, прямая $DE$ параллельна прямой $AC$ ($DE \parallel AC$).

Ответ: Что и требовалось доказать.

196 Отрезок ВK — биссектриса треугольника ABC. Через точку K проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МK. Докажите, что прямые KМ и AB параллельны.

Рассмотрим треугольник $BMK$. По условию задачи дано, что $BM = MK$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $BMK$ — равнобедренный с основанием $BK$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, в треугольнике $BMK$ углы, противолежащие равным сторонам $BM$ и $MK$, равны: $\angle MKB = \angle MBK$.

Также по условию задачи отрезок $BK$ является биссектрисой угла $ABC$. Это означает, что $BK$ делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому угол $\angle MBK$ — это тот же самый угол, что и $\angle KBC$. Следовательно, мы можем объединить полученные равенства: $\angle ABK = \angle KBC = \angle MBK$.

Из равенства $\angle MKB = \angle MBK$ и равенства $\angle ABK = \angle MBK$ следует, что $\angle MKB = \angle ABK$.

Теперь рассмотрим прямые $KM$ и $AB$ и секущую $BK$. Углы $\angle MKB$ и $\angle ABK$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении этих прямых секущей.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы доказали, что $\angle MKB = \angle ABK$, то прямые $KM$ и $AB$ параллельны ($KM \parallel AB$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о параллельности прямых $KM$ и $AB$ доказано.

197 В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой AB.

Для доказательства утверждения воспользуемся признаками параллельности прямых. Нам нужно показать, что биссектриса угла $BCE$ и прямая $AB$ образуют с некоторой секущей равные соответственные или равные накрест лежащие углы.

Дано:
$\triangle ABC$
$\angle A = 40^\circ$
$\angle BCE$ — смежный с $\angle ACB$
$\angle BCE = 80^\circ$

Доказать:
биссектриса $\angle BCE \parallel AB$

Доказательство:

Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Через накрест лежащие углы

1. Угол $BCE$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:$\angle BCE = \angle BAC + \angle ABC$

2. Подставим известные из условия значения:$80^\circ = 40^\circ + \angle ABC$

3. Из этого уравнения находим величину угла $ABC$:$\angle ABC = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$

4. Пусть $CD$ — это биссектриса угла $BCE$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:$\angle BCD = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

5. Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BC$. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними накрест лежащими углами. Мы выяснили, что $\angle ABC = 40^\circ$ и $\angle BCD = 40^\circ$.

6. Так как внутренние накрест лежащие углы равны ($\angle ABC = \angle BCD$), то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, которая является биссектрисой угла $BCE$.

Способ 2: Через соответственные углы

1. Пусть $CD$ — это биссектриса угла $BCE$. Точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, так как $\angle BCE$ является смежным с углом $\angle ACB$. По определению биссектрисы:$\angle DCE = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

2. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ являются соответственными углами.

3. По условию задачи $\angle BAC = 40^\circ$. Как мы нашли в пункте 1, $\angle DCE = 40^\circ$.

4. Поскольку соответственные углы равны ($\angle BAC = \angle DCE$), то по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$.

Оба способа доказывают утверждение задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса угла $BCE$ параллельна прямой $AB$, так как накрест лежащие углы ($\angle ABC$ и $\angle BCD$) при секущей $BC$ равны $40^\circ$ (или так как соответственные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ при секущей $AE$ равны $40^\circ$).

198 В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Для того чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны, необходимо воспользоваться признаками параллельности прямых. Один из таких признаков гласит: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $BC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$ являются внутренними накрест лежащими. Докажем, что они равны.

1. Найдем величину угла $\angle BCA$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Нам известны два угла по условию: $\angle A = 40^\circ$ и $\angle ABC = 70^\circ$.
Вычислим третий угол:
$\angle BCA = 180^\circ - (\angle A + \angle ABC) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

2. По условию задачи, луч $BC$ является биссектрисой угла $ABD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:
$\angle CBD = \angle ABC$.
Так как нам дано, что $\angle ABC = 70^\circ$, то $\angle CBD$ также равен $70^\circ$.

3. Теперь сравним величины внутренних накрест лежащих углов $\angle BCA$ и $\angle CBD$:
Из пункта 1 мы получили: $\angle BCA = 70^\circ$.
Из пункта 2 мы получили: $\angle CBD = 70^\circ$.
Таким образом, $\angle BCA = \angle CBD$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $BC$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

199 Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертёжного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги, используя чертёжный угольник и линейку.

1. Начертите на бумаге произвольный треугольник. Обозначим его вершины буквами $A$, $B$ и $C$. Стороны, лежащие напротив этих вершин, будут соответственно $BC$, $AC$ и $AB$.

2. Проведение прямой через вершину A, параллельной стороне BC

   • Возьмите чертёжный угольник и приложите одну из его сторон (катет) к стороне $BC$ треугольника.
   • К другой стороне (катету) угольника плотно приложите линейку.
   • Крепко зафиксируйте линейку на месте одной рукой, а другой начните плавно двигать угольник вдоль линейки, пока та его сторона, что была совмещена со стороной $BC$, не дойдет до вершины $A$.
   • Проведите карандашом прямую вдоль этой стороны угольника. Полученная прямая будет проходить через вершину $A$ и будет параллельна стороне $BC$.

3. Проведение прямой через вершину B, параллельной стороне AC

   • Теперь повторите аналогичную процедуру для вершины $B$ и стороны $AC$.
   • Приложите катет угольника к стороне $AC$.
   • Приложите линейку к другому катету угольника и зафиксируйте её.
   • Сдвигайте угольник вдоль линейки до тех пор, пока его катет не окажется на вершине $B$.
   • Проведите прямую. Она будет проходить через точку $B$ и будет параллельна стороне $AC$.

4. Проведение прямой через вершину C, параллельной стороне AB

   • Выполните те же действия в последний раз для вершины $C$ и стороны $AB$.
   • Приложите катет угольника к стороне $AB$.
   • Прижмите линейку к другому катету.
   • Перемещайте угольник вдоль неподвижной линейки до совмещения его катета с вершиной $C$.
   • Проведите прямую. Эта прямая пройдет через точку $C$ и будет параллельна стороне $AB$.

После выполнения всех шагов вы увидите, что три построенные прямые пересеклись и образовали новый, больший по размеру треугольник, который полностью содержит в себе исходный треугольник $ABC$.

Ответ: Выполнение описанных выше шагов с помощью линейки и чертёжного угольника приводит к построению трёх прямых, каждая из которых проходит через одну из вершин исходного треугольника и параллельна противоположной стороне. В результате эти три прямые образуют новый, больший треугольник.

200 Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертёжного треугольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений. В качестве инструментов используются линейка и чертёжный треугольник (угольник).

1. Сначала начертим на плоскости произвольный треугольник и обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$.

2. Затем на стороне $AC$ выберем и отметим произвольную точку $D$.

Далее выполним построение двух прямых, проходящих через точку $D$ и параллельных сторонам $AB$ и $BC$.

Построение прямой через точку D, параллельной стороне AB

Чтобы построить прямую, проходящую через точку $D$ и параллельную стороне $AB$, нужно:

1. Приложить линейку так, чтобы её край совпадал со стороной $AB$ треугольника.
2. К краю линейки плотно прижать чертёжный треугольник одним из его катетов (коротких сторон, образующих прямой угол).
3. Крепко удерживая линейку на месте, сдвигать (скользить) чертёжный треугольник вдоль неё до тех пор, пока другой его катет не окажется на одном уровне с точкой $D$.
4. Провести прямую вдоль этого второго катета через точку $D$. Эта прямая пересечёт сторону $BC$ в некоторой точке, которую можно обозначить как $E$. Построенная прямая $DE$ будет параллельна стороне $AB$ ($DE \parallel AB$).

Построение прямой через точку D, параллельной стороне BC

Чтобы построить прямую, проходящую через точку $D$ и параллельную стороне $BC$, нужно выполнить аналогичные действия:

1. Приложить линейку к стороне $BC$ треугольника.
2. Прижать к линейке один из катетов чертёжного треугольника.
3. Удерживая линейку неподвижно, сдвигать угольник вдоль неё до тех пор, пока его второй катет не пройдёт через точку $D$.
4. Провести прямую вдоль этого катета через точку $D$. Прямая пересечёт сторону $AB$ в некоторой точке, которую можно обозначить как $F$. Построенная прямая $DF$ будет параллельна стороне $BC$ ($DF \parallel BC$).

Таким образом, задача решена: через точку $D$ построены две прямые, $DE$ и $DF$, параллельные двум другим сторонам треугольника.

Ответ:

Для построения прямых, параллельных сторонам $AB$ и $BC$ через точку $D$ на стороне $AC$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить прямую $DE$ ($E \in BC$) параллельно $AB$. Для этого нужно приложить линейку к $AB$, приставить к ней чертёжный треугольник, сдвинуть его вдоль линейки до точки $D$ и провести прямую.
2. Построить прямую $DF$ ($F \in AB$) параллельно $BC$. Для этого нужно приложить линейку к $BC$, приставить к ней чертёжный треугольник, сдвинуть его вдоль линейки до точки $D$ и провести прямую.
В результате будут построены искомые прямые $DE$ и $DF$, удовлетворяющие условию $DE \parallel AB$ и $DF \parallel BC$.