Номер 198, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Признаки параллельности двух прямых. 26. Практические способы построения параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 198, страница 57.

198 В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Для того чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны, необходимо воспользоваться признаками параллельности прямых. Один из таких признаков гласит: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $BC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$ являются внутренними накрест лежащими. Докажем, что они равны.

1. Найдем величину угла $\angle BCA$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Нам известны два угла по условию: $\angle A = 40^\circ$ и $\angle ABC = 70^\circ$.
Вычислим третий угол:
$\angle BCA = 180^\circ - (\angle A + \angle ABC) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

2. По условию задачи, луч $BC$ является биссектрисой угла $ABD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:
$\angle CBD = \angle ABC$.
Так как нам дано, что $\angle ABC = 70^\circ$, то $\angle CBD$ также равен $70^\circ$.

3. Теперь сравним величины внутренних накрест лежащих углов $\angle BCA$ и $\angle CBD$:
Из пункта 1 мы получили: $\angle BCA = 70^\circ$.
Из пункта 2 мы получили: $\angle CBD = 70^\circ$.
Таким образом, $\angle BCA = \angle CBD$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $BC$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.