Номер 6, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 6, страница 49.

6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Сформулируйте

Теорема: Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Докажите

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Доказательство теоремы состоит из двух частей: доказательства существования перпендикуляра и доказательства его единственности.

1. Доказательство существования.

Выберем на прямой a какие-либо две точки B и C. В полуплоскости, противоположной той, где лежит точка A, построим треугольник $A_1BC$, равный треугольнику $ABC$. Такое построение всегда возможно (например, по трем сторонам: сторона BC общая, отрезки $A_1B$ и $A_1C$ строятся равными отрезкам AB и AC соответственно).

Поскольку $\triangle ABC = \triangle A_1BC$ по построению, то их соответствующие углы равны. В частности, $\angle ABC = \angle A_1BC$.

Проведем отрезок $AA_1$. Пусть он пересекает прямую a в точке H.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $A_1BH$. У них:

• сторона BH — общая;
• $AB = A_1B$ по построению;
• $\angle ABH = \angle A_1BH$ (так как это те же углы, что и $\angle ABC$ и $\angle A_1BC$).

Следовательно, $\triangle ABH = \triangle A_1BH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AHB = \angle A_1HB$.

Углы $\angle AHB$ и $\angle A_1HB$ являются смежными, так как точки A, H, $A_1$ лежат на одной прямой, а луч HB — общий. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $\angle AHB + \angle A_1HB = 180^\circ$.

Так как эти углы равны, то каждый из них равен половине их суммы: $2 \cdot \angle AHB = 180^\circ \implies \angle AHB = 90^\circ$.

Это означает, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой a. Таким образом, отрезок AH — это перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a. Существование перпендикуляра доказано.

2. Доказательство единственности.

Докажем от противного. Предположим, что из точки A к прямой a можно провести два различных перпендикуляра. Пусть один из них — это AH, а другой — AK, где K — точка на прямой a и $K \neq H$.

По нашему предположению, $AH \perp a$ и $AK \perp a$. Это означает, что $\angle AHK = 90^\circ$ и $\angle AKH = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AHK$. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$: $\angle HAK + \angle AHK + \angle AKH = 180^\circ$.

Подставим значения прямых углов в это равенство: $\angle HAK + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, $\angle HAK + 180^\circ = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle HAK = 0^\circ$. Нулевой угол означает, что точки A, H, K лежат на одной прямой. Так как точки H и K по условию лежат на прямой a, то и точка A должна лежать на прямой a.

Но это противоречит начальному условию, согласно которому точка A не лежит на прямой a. Полученное противоречие означает, что наше предположение о существовании второго перпендикуляра было неверным.

Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, единственный. Теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема о перпендикуляре гласит, что из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой перпендикуляр, и он будет единственным. Существование доказывается методом построения равного треугольника в другой полуплоскости и рассмотрения свойств полученной фигуры. Единственность доказывается методом от противного, который приводит к противоречию с теоремой о сумме углов треугольника.