Номер 3, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 3, страница 49.

3 Что такое теорема и доказательство теоремы?

Теорема

В математике и логике теорема — это утверждение, истинность которого установлена посредством доказательства. В отличие от аксиомы, которая принимается истинной без доказательств и служит отправной точкой для рассуждений, теорема является выводом из аксиом и ранее доказанных теорем.

Структура большинства теорем представляет собой импликацию, то есть утверждение вида «Если А, то В». Это можно записать в виде формулы: $A \Rightarrow B$.

• Условие (посылка) — это часть «А». Она описывает исходные данные или предположения.
• Заключение (вывод) — это часть «В». Она описывает то, что должно следовать из условия.

Пример: Теорема Пифагора.

• Условие (А): Дан прямоугольный треугольник.
• Заключение (В): Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).

Теоремы являются фундаментальными строительными блоками математического знания. Существуют также вспомогательные утверждения:

• Лемма — это вспомогательная теорема, которая сама по себе может не представлять большого интереса, но используется для доказательства более крупной и важной теоремы.
• Следствие — это утверждение, которое легко выводится из уже доказанной теоремы.

Ответ: Теорема — это математическое утверждение, истинность которого rigorously (строго) доказывается на основе аксиом и ранее доказанных утверждений. Она обычно имеет форму «если... то...», где из заданного условия логически выводится заключение.

Доказательство теоремы

Доказательство — это последовательность логических рассуждений, которая демонстрирует, что заключение теоремы является необходимым следствием её условий. Доказательство должно быть строгим, то есть каждый его шаг должен опираться на аксиомы, определения или ранее доказанные теоремы, и быть логически безупречным.

Цель доказательства — установить истинность теоремы с абсолютной достоверностью в рамках принятой аксиоматической системы. Существует несколько основных методов доказательства:

• Прямое доказательство. Рассуждение строится как цепочка выводов, которая начинается с условий теоремы и, шаг за шагом, приводит к её заключению.
• Доказательство от противного (reductio ad absurdum). Предполагается, что заключение теоремы неверно. Затем из этого предположения и условий теоремы выводится логическое противоречие (например, утверждение вида «Р и не-Р» или противоречие с аксиомой). Это означает, что исходное предположение было ложным, а значит, заключение теоремы истинно.
• Доказательство методом математической индукции. Применяется для утверждений, зависящих от натурального числа $n$. Состоит из двух шагов:
  1. База индукции: доказывается истинность утверждения для начального значения (например, $n=1$).
  2. Индукционный переход: доказывается, что если утверждение верно для некоторого натурального $n=k$ (индукционное предположение), то оно верно и для следующего числа $n=k+1$.
• Доказательство контрапозицией. Вместо того чтобы доказывать утверждение $A \Rightarrow B$, доказывается эквивалентное ему утверждение «Если не В, то не А» ($\neg B \Rightarrow \neg A$).

Пример прямого доказательства: Сумма двух четных чисел является четным числом.

1. Условие: Даны два четных числа, назовем их $m$ и $n$.
2. Определение: По определению, четное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Таким образом, $m = 2k_1$ и $n = 2k_2$ для некоторых целых $k_1$ и $k_2$.
3. Логический шаг: Найдем их сумму: $m + n = 2k_1 + 2k_2$.
4. Логический шаг: Вынесем общий множитель за скобки: $m + n = 2(k_1 + k_2)$.
5. Заключение: Так как $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Следовательно, $m+n$ представлено в виде $2$ умножить на целое число, что по определению означает, что сумма $m+n$ является четным числом. Доказательство завершено.

Ответ: Доказательство теоремы — это строгая, логически выверенная последовательность умозаключений, которая показывает, как из условий теоремы с необходимостью следует её заключение, опираясь на аксиомы и ранее установленные факты.