Номер 158, страница 48 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 158, страница 48.

158 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами A и B (рис. 97). Затем построим две окружности с центрами A и B, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1=∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN⊥AB, т. е. MN⊥а.

Решение

Чтобы построить прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную к прямой $a$, необходимо выполнить следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки.

Построение:

1. Из точки $M$ как из центра проводим окружность произвольного, но достаточного радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки как $A$ и $B$.
2. Далее строим две окружности одинакового радиуса, равного длине отрезка $AM$ (или $BM$, так как $AM=BM$). Одну окружность строим с центром в точке $A$, а другую — с центром в точке $B$.
3. Эти две окружности пересекутся в двух точках: в исходной точке $M$ и в новой точке, которую обозначим $N$.
4. Проводим прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая $MN$ и будет искомой.

Доказательство:

Докажем, что построенная прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$. У них:

• сторона $AM$ равна стороне $BM$ (как радиусы первой окружности с центром в $M$);
• сторона $AN$ равна стороне $BN$ (по построению, так как они являются радиусами двух окружностей с одинаковыми радиусами $AM=BM$);
• сторона $MN$ — общая.

Следовательно, $\triangle AMN = \triangle BMN$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AMN = \angle BMN$.

Пусть $C$ — это точка пересечения прямых $MN$ и $a$. В треугольнике $\triangle AMB$, который является равнобедренным ($AM=BM$), отрезок $MC$ является биссектрисой угла $\angle AMB$ (так как $\angle AMC = \angle BMC$).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно и медианой, и высотой. Таким образом, $MC$ является высотой треугольника $\triangle AMB$, опущенной на основание $AB$.

Это означает, что $MC \perp AB$, и, следовательно, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$. Построение верно.

Ответ: Прямая, построенная согласно описанному алгоритму, проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $a$.