Номер 160, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 160, страница 49.

160 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30′.

а) 45°

Для построения угла в $45^\circ$ необходимо сначала построить прямой угол ($90^\circ$), а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.

1. С помощью линейки проведём произвольную прямую l и отметим на ней точку O. Эта точка будет вершиной нашего будущего угла.
2. Установим острие циркуля в точку O и проведём окружность (или дугу) произвольного радиуса R. Она пересечёт прямую l в двух точках. Назовём их A и B.
3. Теперь построим перпендикуляр к прямой l в точке O. Для этого из точек A и B проведём две дуги одинаковым радиусом, который должен быть больше, чем длина отрезка AO (то есть больше R), так, чтобы они пересеклись. Получим точку C.
4. С помощью линейки соединим точки O и C. Луч OC перпендикулярен прямой l. Таким образом, мы построили прямой угол $\angle{COB} = 90^\circ$.
5. Теперь разделим угол $\angle{COB}$ пополам. Для этого построим его биссектрису. Дуга, которую мы провели в шаге 2, пересекает луч OC в некоторой точке. Назовём её D. Точки B и D лежат на сторонах угла $\angle{COB}$ и равноудалены от вершины O.
6. Из точек B и D проведём две дуги одинаковым произвольным радиусом так, чтобы они пересеклись внутри угла $\angle{COB}$. Точку их пересечения назовём E.
7. Проведём луч OE. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{COB}$.
8. Полученный угол $\angle{EOB}$ является искомым, так как его величина равна половине прямого угла: $\angle{EOB} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Ответ: Построенный угол $\angle{EOB}$ равен $45^\circ$.

б) 22°30'

Угол в $22^\circ30'$ (22 градуса 30 минут) равен половине угла в $45^\circ$, так как $30' = 0.5^\circ$, и следовательно, $22^\circ30' = 22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Поэтому для построения этого угла нужно сначала построить угол в $45^\circ$, а затем разделить его пополам (построить его биссектрису).

1. Сначала построим угол в $45^\circ$. Для этого выполним все шаги 1-8, описанные в пункте (а). В результате получим угол $\angle{EOB} = 45^\circ$ с вершиной в точке O.
2. Теперь построим биссектрису угла $\angle{EOB}$. Установим острие циркуля в вершину O и проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны угла, лучи OE и OB. Обозначим точки пересечения F (на луче OE) и G (на луче OB).
3. Из точек F и G, как из центров, проведём две дуги одинакового (и произвольного) радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла $\angle{EOB}$. Точку их пересечения назовём K.
4. С помощью линейки проведём луч OK. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{EOB}$.
5. Полученный угол $\angle{KOB}$ является искомым. Его величина равна: $\angle{KOB} = \frac{\angle{EOB}}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ = 22^\circ30'$.

Ответ: Построенный угол $\angle{KOB}$ равен $22^\circ30'$.