Номер 5, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 2. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 5, страница 49.

5 Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

Рассмотрим точку $A$ и прямую $a$. Из точки $A$ к прямой $a$ можно провести бесконечное множество отрезков, соединяя точку $A$ с различными точками на прямой $a$.

Среди всех этих отрезков существует один особенный. Он образует с прямой $a$ прямой угол, то есть угол в $90^\circ$. Для его построения из точки $A$ проводят прямую, которая пересекает прямую $a$ под прямым углом. Пусть точка их пересечения будет $H$.

Отрезок $AH$ и будет называться перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к прямой $a$. Математически это записывается как $AH \perp a$. Точка $H$ при этом называется основанием перпендикуляра.

Ключевое свойство перпендикуляра заключается в том, что его длина является кратчайшим расстоянием от точки $A$ до прямой $a$. Любой другой отрезок, соединяющий точку $A$ с какой-либо точкой $M$ на прямой $a$ (такой отрезок называется наклонной), будет длиннее, чем перпендикуляр $AH$. Это следует из свойств прямоугольного треугольника $\triangle AHM$, в котором наклонная $AM$ является гипотенузой, а перпендикуляр $AH$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета, то $AM > AH$.

Если исходная точка лежит на самой прямой, то перпендикуляром из этой точки к прямой считается отрезок нулевой длины.

Ответ: Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой, называется отрезок, который соединяет данную точку с точкой на прямой и лежит на прямой, перпендикулярной данной.