Номер 159, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Примеры задач на построение. § 4. Задачи на построение. Глава 2. Треугольники - номер 159, страница 49.

159 Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АK; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Для решения задачи нам понадобятся циркуль и линейка без делений. Мы будем выполнять классические геометрические построения для произвольного треугольника $ABC$.

а) биссектрису АК

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол пополам. Для построения биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника $ABC$ выполним следующие шаги:

1. С центром в вершине $A$ проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны $AB$ и $AC$. Обозначим точки пересечения как $P$ и $Q$ соответственно.
2. Из точек $P$ и $Q$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между $P$ и $Q$) так, чтобы они пересеклись внутри угла $BAC$. Обозначим точку их пересечения как $D$.
3. С помощью линейки проводим луч из вершины $A$ через точку $D$.
4. Точка пересечения этого луча со стороной $BC$ является точкой $K$.

Полученный отрезок $AK$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$, так как по построению $\angle BAK = \angle CAK$.

Ответ: Биссектриса $АК$ построена.

б) медиану BM

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медианы $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$ необходимо найти середину стороны $AC$.

1. Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведём дугу с радиусом, заведомо большим половины длины отрезка $AC$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой в двух точках. Обозначим эти точки как $R$ и $S$.
3. С помощью линейки соединим точки $R$ и $S$. Прямая $RS$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
4. Точка пересечения прямой $RS$ со стороной $AC$ является её серединой. Обозначим эту точку как $M$. Таким образом, $AM = MC$.
5. Соединим вершину $B$ с точкой $M$ с помощью линейки.

Полученный отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

Ответ: Медиана $BM$ построена.

в) высоту CH треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для построения высоты $CH$ из вершины $C$ на сторону $AB$ выполним следующие действия:

1. Установим ножку циркуля в вершину $C$. Проведём дугу такого радиуса, чтобы она пересекла прямую, содержащую сторону $AB$, в двух точках. Обозначим эти точки как $X$ и $Y$. (Если треугольник тупоугольный с тупым углом при вершине $A$ или $B$, то дуга пересечет продолжение стороны $AB$).
2. Из точек $X$ и $Y$ как из центров проведём две дуги одинакового радиуса (большего половины длины отрезка $XY$) с одной стороны от прямой $AB$ (с той, где не лежит точка $C$) до их пересечения. Обозначим точку пересечения как $F$.
3. С помощью линейки проведём прямую через точки $C$ и $F$.
4. Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ является основанием высоты. Обозначим эту точку как $H$.

Отрезок $CH$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$, так как по построению $CH \perp AB$.

Ответ: Высота $CH$ построена.