Страница 43 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

146 В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = А₁В₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁.

Дано:

В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:
$AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$.
$A_1D_1$ — биссектриса угла $\angle B_1A_1C_1$.
$AB = A_1B_1$.
$BD = B_1D_1$.
$AD = A_1D_1$.

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.
По условию задачи имеем три пары равных сторон:
$AB = A_1B_1$,
$BD = B_1D_1$,
$AD = A_1D_1$.
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов:
$\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (то есть $\angle B = \angle B_1$).
$\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.

3. По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, а $A_1D_1$ — биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$. Это означает, что они делят соответствующие углы пополам:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD$.
$\angle B_1A_1C_1 = 2 \cdot \angle B_1A_1D_1$.
Так как из пункта 2 мы установили, что $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$, то и полные углы, которые вдвое больше этих равных углов, также равны между собой:
$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:
$AB = A_1B_1$ (по условию).
$\angle B = \angle B_1$ (доказано в п. 2).
$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п. 3).
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.

147 Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = ОС.

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ADB $ и $ \triangle ACB $.
1. По условию, треугольник $ \triangle ADC $ равнобедренный с основанием $ DC $, следовательно, его боковые стороны равны: $ AD = AC $.
2. Аналогично, треугольник $ \triangle BCD $ равнобедренный с основанием $ DC $, следовательно, его боковые стороны равны: $ BD = BC $.
3. Сторона $ AB $ является общей для треугольников $ \triangle ADB $ и $ \triangle ACB $.
Таким образом, $ \triangle ADB \cong \triangle ACB $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, то есть $ \angle ADB = \angle ACB $.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим равнобедренный треугольник $ \triangle ADC $. Из доказательства в пункте а) следует, что $ \triangle ADB \cong \triangle ACB $, откуда получаем равенство соответствующих углов $ \angle DAB = \angle CAB $ (или $ \angle DAO = \angle CAO $).
Это означает, что отрезок $ AO $ является биссектрисой угла $ \angle DAC $, который является углом при вершине равнобедренного треугольника $ \triangle ADC $.
По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.
Следовательно, $ AO $ — медиана треугольника $ \triangle ADC $, проведенная к основанию $ DC $. По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам, значит, $ DO = OC $.

Ответ: Что и требовалось доказать.