Номер 146, страница 43 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 146, страница 43.

146 В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = А₁В₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁.

Дано:

В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:
$AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$.
$A_1D_1$ — биссектриса угла $\angle B_1A_1C_1$.
$AB = A_1B_1$.
$BD = B_1D_1$.
$AD = A_1D_1$.

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.
По условию задачи имеем три пары равных сторон:
$AB = A_1B_1$,
$BD = B_1D_1$,
$AD = A_1D_1$.
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов:
$\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (то есть $\angle B = \angle B_1$).
$\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.

3. По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, а $A_1D_1$ — биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$. Это означает, что они делят соответствующие углы пополам:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD$.
$\angle B_1A_1C_1 = 2 \cdot \angle B_1A_1D_1$.
Так как из пункта 2 мы установили, что $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$, то и полные углы, которые вдвое больше этих равных углов, также равны между собой:
$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:
$AB = A_1B_1$ (по условию).
$\angle B = \angle B_1$ (доказано в п. 2).
$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п. 3).
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle A_1B_1C_1$).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.