Номер 142, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 142, страница 42.

142 В треугольниках ABC и ADC BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D. Рассмотрите разные случаи расположения точек B и D.

Для доказательства равенства углов $\angle B$ и $\angle D$ рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. По условию задачи даны следующие равенства сторон: $BC = AD$ и $AB = CD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Доказательство основывается на признаке равенства треугольников по трем сторонам. Необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точек B и D относительно прямой AC.

Случай 1: Точки B и D расположены по разные стороны от прямой AC.

В этом случае точки A, B, C, D образуют четырехугольник, а отрезок AC является его диагональю. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их стороны: $AB = CD$ (по условию), $BC = DA$ (по условию), $AC$ – общая сторона. Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle B$ лежит против стороны $AC$. В треугольнике $\triangle CDA$ угол $\angle D$ лежит против стороны $CA$. Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны.

Следовательно, $\angle B = \angle D$.

Ответ: $\angle B = \angle D$.

Случай 2: Точки B и D расположены по одну сторону от прямой AC.

В этом случае треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ находятся по одну сторону от их общей стороны $AC$. Снова сравним стороны этих треугольников: $AB = CD$ (по условию), $BC = DA$ (по условию), $AC$ – общая сторона. Как и в первом случае, на основании третьего признака равенства треугольников, мы заключаем, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ является соответствующим углу $\angle D$ в $\triangle CDA$, так как они лежат против общей стороны $AC$ ($CA$).

Таким образом, $\angle B = \angle D$.

Ответ: $\angle B = \angle D$.