Номер 135, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 135, страница 42.

135 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ отрезки СО и С₁О₁ — медианы, ВС = В₁С₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что:

а) △АСО = △А₁С₁О₁;

б) △ВСО = △В₁С₁О₁.

Для решения задачи сначала докажем равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, в этих треугольниках сторона и два прилежащих к ней угла равны: $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$. Из этого равенства следует, что и другие соответствующие элементы этих треугольников равны: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

а) Рассмотрим треугольники $ACO$ и $A_1C_1O_1$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
1. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$), так как это соответствующие стороны равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
2. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ ($\angle A = \angle A_1$) по той же причине.
3. По условию, $CO$ и $C_1O_1$ являются медианами. Это значит, что $O$ — середина стороны $AB$, а $O_1$ — середина стороны $A_1B_1$. Следовательно, $AO = \frac{1}{2}AB$ и $A_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$. Так как мы уже установили, что $AB = A_1B_1$, то и их половины равны, то есть $AO = A_1O_1$.
Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ACO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1C_1O_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta ACO = \Delta A_1C_1O_1$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Рассмотрим треугольники $BCO$ и $B_1C_1O_1$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
1. Сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$) по условию задачи.
2. Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ ($\angle B = \angle B_1$) по условию задачи.
3. Как было показано выше, $O$ и $O_1$ — середины равных сторон $AB$ и $A_1B_1$ соответственно, так как $CO$ и $C_1O_1$ — медианы. Следовательно, отрезки $BO$ и $B_1O_1$ как половины равных сторон также равны: $BO = \frac{1}{2}AB$ и $B_1O_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$, откуда $BO = B_1O_1$.
Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $BCO$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $B_1C_1O_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta BCO = \Delta B_1C_1O_1$.
Ответ: Утверждение доказано.