Номер 128, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 128, страница 41.

128 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

Дано:

AD – биссектриса угла с вершиной в точке A. Точки B и C лежат на сторонах этого угла. Точка D лежит на биссектрисе AD. Известно, что $\angle ADB = \angle ADC$.

Доказать:

$BD = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Чтобы доказать равенство отрезков BD и CD, докажем, что эти треугольники равны.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона AD является общей для обоих треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle ACD$).

2. По условию, AD – биссектриса угла A. Это означает, что она делит угол A на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$.

3. Также по условию задачи нам дано, что $\angle ADB = \angle ADC$.

Таким образом, мы имеем сторону и два прилежащих к ней угла одного треугольника, которые соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. В треугольнике $\triangle ABD$ к общей стороне AD прилегают углы $\angle BAD$ и $\angle ADB$. В треугольнике $\triangle ACD$ к той же стороне AD прилегают углы $\angle CAD$ и $\angle ADC$.

Поскольку $\angle BAD = \angle CAD$ и $\angle ADB = \angle ADC$, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle ACD$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BD в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BAD$. Сторона CD в треугольнике $\triangle ACD$ лежит напротив угла $\angle CAD$. Так как углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны, то и противолежащие им стороны BD и CD также равны.

Следовательно, $BD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $BD$ и $CD$ доказано, так как они являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.