Номер 130, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 130, страница 41.

130 На рисунке 80 ∠DAC=∠DBC, АО=ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD.

Для решения задачи предположим, что точки A, B, C, D образуют четырехугольник, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. Доказательство состоит из двух связанных частей.

Докажите, что AC = BD

1. В треугольнике $ \triangle AOB $ стороны $ AO $ и $ BO $ равны по условию ($ AO = BO $). Следовательно, $ \triangle AOB $ — равнобедренный, а углы при его основании равны: $ \angle OAB = \angle OBA $. Эти углы также являются углами $ \angle CAB $ и $ \angle DBA $.

2. Рассмотрим углы $ \angle DAB $ и $ \angle CBA $.
$ \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB $
$ \angle CBA = \angle DBC + \angle DBA $
По условию $ \angle DAC = \angle DBC $, и, как показано выше, $ \angle CAB = \angle DBA $. Сложив соответствующие части равенств, получаем $ \angle DAB = \angle CBA $.

3. Сравним треугольники $ \triangle BAD $ и $ \triangle ABC $.
Сторона $ AB $ — общая.
Угол $ \angle DAB = \angle CBA $ (показано в п. 2).
Угол $ \angle DBA = \angle CAB $ (показано в п. 1).
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): $ \triangle BAD \cong \triangle ABC $.

4. Так как треугольники равны, то равны и их соответственные стороны. Отсюда следует, что $ AC = BD $.

Ответ: Равенство $ AC = BD $ доказано.

Докажите, что ?C = ?D

1. Из доказанного выше равенства $ \triangle BAD \cong \triangle ABC $ следует также равенство других соответственных сторон: $ AD = BC $.

2. Теперь сравним треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle BCD $.
Сторона $ CD $ — общая.
Сторона $ AC = BD $ (доказано в первой части).
Сторона $ AD = BC $ (показано в п. 1).
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $ \triangle ADC \cong \triangle BCD $.

3. Так как треугольники равны, то равны и их соответственные углы. Отсюда следует, что $ \angle BCD = \angle ADC $, то есть $ \angle C = \angle D $.

Ответ: Равенство $ \angle C = \angle D $ доказано.