Номер 137, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 137, страница 42.

137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Пусть дан угол с вершиной в точке A. Пусть `AL` — биссектриса этого угла. Прямая `MN` пересекает стороны угла в точках `M` и `N` и перпендикулярна биссектрисе `AL`. Обозначим точку их пересечения как `K`. Таким образом, $AL \perp MN$.

Рассмотрим треугольник `AMN`. В этом треугольнике отрезок `AK` является частью биссектрисы `AL` угла `A`, следовательно, `AK` — биссектриса угла `MAN`.

Также, по условию, прямая `MN` перпендикулярна биссектрисе `AL`. Это означает, что `AK` является высотой треугольника `AMN`, проведенной к стороне `MN`, так как $?AKM = 90°$.

Таким образом, в треугольнике `AMN` отрезок `AK` является одновременно и биссектрисой, и высотой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle AKM $ и $ \triangle AKN $.

1. $AK$ — общая сторона.
2. $?MAK = ?NAK$, так как `AL` — биссектриса угла `A`.
3. $?AKM = ?AKN = 90°$, так как по условию $MN \perp AL$.

Следовательно, $ \triangle AKM = \triangle AKN $ по второму признаку равенства треугольников (по катету и прилежащему острому углу в прямоугольных треугольниках, что эквивалентно признаку "по стороне и двум прилежащим углам" для произвольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = AN$.

Поскольку в треугольнике `AMN` две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник AMN является равнобедренным, так как высота, проведенная из вершины A к стороне MN, является также и биссектрисой угла A, что является признаком равнобедренного треугольника.