Номер 137, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

Пусть дан угол с вершиной в точке A. Пусть $AL$ — биссектриса этого угла. Прямая $MN$ пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$ и перпендикулярна биссектрисе $AL$. Обозначим точку их пересечения как $K$. Таким образом, $AL \perp MN$.

Рассмотрим треугольник $AMN$. В этом треугольнике отрезок $AK$ является частью биссектрисы $AL$ угла $A$, следовательно, $AK$ — биссектриса угла $MAN$.

Также, по условию, прямая $MN$ перпендикулярна биссектрисе $AL$. Это означает, что $AK$ является высотой треугольника $AMN$, проведенной к стороне $MN$, так как $?AKM = 90°$.

Таким образом, в треугольнике $AMN$ отрезок $AK$ является одновременно и биссектрисой, и высотой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник является равнобедренным.

Альтернативное доказательство через равенство треугольников:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle AKM $ и $ \triangle AKN $.

1. $AK$ — общая сторона.
2. $?MAK = ?NAK$, так как $AL$ — биссектриса угла $A$.
3. $?AKM = ?AKN = 90°$, так как по условию $MN \perp AL$.

Следовательно, $ \triangle AKM = \triangle AKN $ по второму признаку равенства треугольников (по катету и прилежащему острому углу в прямоугольных треугольниках, что эквивалентно признаку "по стороне и двум прилежащим углам" для произвольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = AN$.

Поскольку в треугольнике $AMN$ две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник AMN является равнобедренным, так как высота, проведенная из вершины A к стороне MN, является также и биссектрисой угла A, что является признаком равнобедренного треугольника.