Номер 141, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников. 20. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 141, страница 42.

141 В треугольниках ABD и ACD AB = AC, BD = DC, точки B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Найдите угол CAD, если ∠BAC = 50°.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

По условию задачи дано, что сторона $AB = AC$ и сторона $BD = DC$. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle BAD$ в треугольнике $ABD$ и угол $\angle CAD$ в треугольнике $ACD$ лежат напротив равных сторон $BD$ и $DC$ соответственно. Таким образом, эти углы равны: $\angle BAD = \angle CAD$.

Так как точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AD$, луч $AD$ проходит между сторонами угла $\angle BAC$. Это означает, что угол $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle BAD$ и $\angle CAD$:
$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$.

Поскольку мы установили, что $\angle BAD = \angle CAD$, мы можем записать:
$\angle BAC = \angle CAD + \angle CAD = 2 \cdot \angle CAD$.

По условию $\angle BAC = 50^\circ$. Подставим это значение в полученное равенство:
$50^\circ = 2 \cdot \angle CAD$.

Отсюда выразим и найдем искомый угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.