Страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

126 Отрезки AB и CD пересекаются в середине отрезка AB, точке О, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажите, что △CBO = △DAO;

б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, АD = 15 см.

а)

Рассмотрим треугольники $?CBO$ и $?DAO$.

По условию задачи точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, $AO = BO$.

Также по условию $?OAD = ?OBC$, что для рассматриваемых треугольников означает $?DAO = ?CBO$.

Углы $?BOC$ и $?AOD$ являются вертикальными, поскольку они образованы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $?BOC = ?AOD$.

Таким образом, сторона $BO$ и два прилежащих к ней угла $?CBO$ и $?BOC$ треугольника $?CBO$ соответственно равны стороне $AO$ и двум прилежащим к ней углам $?DAO$ и $?AOD$ треугольника $?DAO$.

Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники $?CBO$ и $?DAO$ равны.

Ответ: Равенство $?CBO = ?DAO$ доказано.

б)

Поскольку треугольники $?CBO$ и $?DAO$ равны (что доказано в пункте а)), их соответствующие стороны также равны. Это означает, что $BC = AD$ и $CO = DO$.

По условию дано, что $AD = 15$ см. Следовательно, $BC = 15$ см.

Длина отрезка $CD$ равна сумме длин его частей $CO$ и $DO$: $CD = CO + DO$. Так как $CO = DO$, мы можем записать $CD = CO + CO = 2 \cdot CO$.

Из условия известно, что $CD = 26$ см. Тогда получаем уравнение:

$2 \cdot CO = 26$ см

Решая его, находим $CO$:

$CO = \frac{26}{2} = 13$ см.

Ответ: $BC = 15$ см, $CO = 13$ см.

127 На рисунке 59 (см. с. 32) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что △ABC=△CDA;

б) найдите AB и ВС, если AD=19см, CD=11см.

а) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Для доказательства их равенства сравним их элементы на основе данных из условия задачи:

1. $\angle 1 = \angle 2$. На рисунке эти углы соответствуют углам $\angle BCA$ и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle BCA = \angle DAC$.
2. $\angle 3 = \angle 4$. Эти углы соответствуют углам $\angle BAC$ и $\angle DCA$. Таким образом, $\angle BAC = \angle DCA$.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $\triangle ABC$ (сторона $AC$, углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $\triangle CDA$ (сторона $CA$, углы $\angle DCA$ и $\angle DAC$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle CDA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по второму признаку равенства треугольников, так как сторона $AC$ у них общая, а прилежащие к ней углы соответственно равны по условию ($\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$).

б) найдите $AB$ и $BC$, если $AD = 19$ см, $CD = 11$ см

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ следует равенство их соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, которые лежат напротив равных углов.

• Сторона $AB$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$ ($\angle 1$). В равном ему треугольнике $\triangle CDA$ напротив равного угла $\angle DAC$ ($\angle 2$) лежит сторона $CD$. Следовательно, $AB = CD$.
• Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$ ($\angle 3$). В равном ему треугольнике $\triangle CDA$ напротив равного угла $\angle DCA$ ($\angle 4$) лежит сторона $AD$. Следовательно, $BC = AD$.

По условию задачи даны длины сторон $AD = 19$ см и $CD = 11$ см.

Используя полученные равенства, находим искомые стороны:

$AB = CD = 11$ см.

$BC = AD = 19$ см.

Ответ: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.

128 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

Дано:

AD – биссектриса угла с вершиной в точке A. Точки B и C лежат на сторонах этого угла. Точка D лежит на биссектрисе AD. Известно, что $\angle ADB = \angle ADC$.

Доказать:

$BD = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Чтобы доказать равенство отрезков BD и CD, докажем, что эти треугольники равны.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона AD является общей для обоих треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle ACD$).

2. По условию, AD – биссектриса угла A. Это означает, что она делит угол A на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$.

3. Также по условию задачи нам дано, что $\angle ADB = \angle ADC$.

Таким образом, мы имеем сторону и два прилежащих к ней угла одного треугольника, которые соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. В треугольнике $\triangle ABD$ к общей стороне AD прилегают углы $\angle BAD$ и $\angle ADB$. В треугольнике $\triangle ACD$ к той же стороне AD прилегают углы $\angle CAD$ и $\angle ADC$.

Поскольку $\angle BAD = \angle CAD$ и $\angle ADB = \angle ADC$, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle ACD$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BD в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BAD$. Сторона CD в треугольнике $\triangle ACD$ лежит напротив угла $\angle CAD$. Так как углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны, то и противолежащие им стороны BD и CD также равны.

Следовательно, $BD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $BD$ и $CD$ доказано, так как они являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

129 По данным рисунка 79 докажите, что ОР=ОТ, ∠P=∠T.

Рассмотрим треугольники $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$. Чтобы доказать, что $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$, установим равенство этих треугольников, исходя из данных, представленных на рисунке.

Проанализируем известные элементы этих треугольников:

1. $CO = BO$. На рисунке эти отрезки отмечены одинаковыми короткими штрихами, что по соглашению означает их равенство.

2. $\angle TCO = 90^{\circ}$ и $\angle PBO = 90^{\circ}$. Углы при вершинах $C$ и $B$ отмечены символами прямого угла (квадратиками). Это означает, что треугольники $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$ являются прямоугольными.

3. $\angle TOC = \angle POB$. Эти углы являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $TP$ и $CB$. По свойству вертикальных углов, они равны.

Таким образом, мы имеем два треугольника, у которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($CO=BO$, $\angle TCO=\angle PBO$, $\angle TOC=\angle POB$).

Следовательно, $\triangle TCO \cong \triangle PBO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для прямоугольных треугольников этот признак также известен как признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

- Соответствующие стороны (гипотенузы) равны: $OT = OP$.

- Соответствующие углы равны: $\angle T = \angle P$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$ следует из равенства треугольников $\triangle TCO$ и $\triangle PBO$. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как $CO=BO$ (по условию), $\angle TCO = \angle PBO = 90^{\circ}$ (по условию), и $\angle TOC = \angle POB$ (как вертикальные углы).

130 На рисунке 80 ∠DAC=∠DBC, АО=ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD.

Для решения задачи предположим, что точки A, B, C, D образуют четырехугольник, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O. Доказательство состоит из двух связанных частей.

Докажите, что AC = BD

1. В треугольнике $ \triangle AOB $ стороны $ AO $ и $ BO $ равны по условию ($ AO = BO $). Следовательно, $ \triangle AOB $ — равнобедренный, а углы при его основании равны: $ \angle OAB = \angle OBA $. Эти углы также являются углами $ \angle CAB $ и $ \angle DBA $.

2. Рассмотрим углы $ \angle DAB $ и $ \angle CBA $.
$ \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB $
$ \angle CBA = \angle DBC + \angle DBA $
По условию $ \angle DAC = \angle DBC $, и, как показано выше, $ \angle CAB = \angle DBA $. Сложив соответствующие части равенств, получаем $ \angle DAB = \angle CBA $.

3. Сравним треугольники $ \triangle BAD $ и $ \triangle ABC $.
Сторона $ AB $ — общая.
Угол $ \angle DAB = \angle CBA $ (показано в п. 2).
Угол $ \angle DBA = \angle CAB $ (показано в п. 1).
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): $ \triangle BAD \cong \triangle ABC $.

4. Так как треугольники равны, то равны и их соответственные стороны. Отсюда следует, что $ AC = BD $.

Ответ: Равенство $ AC = BD $ доказано.

Докажите, что ?C = ?D

1. Из доказанного выше равенства $ \triangle BAD \cong \triangle ABC $ следует также равенство других соответственных сторон: $ AD = BC $.

2. Теперь сравним треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle BCD $.
Сторона $ CD $ — общая.
Сторона $ AC = BD $ (доказано в первой части).
Сторона $ AD = BC $ (показано в п. 1).
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $ \triangle ADC \cong \triangle BCD $.

3. Так как треугольники равны, то равны и их соответственные углы. Отсюда следует, что $ \angle BCD = \angle ADC $, то есть $ \angle C = \angle D $.

Ответ: Равенство $ \angle C = \angle D $ доказано.

131 На рисунке 80 ∠DAB=∠CBA, ∠CAB=∠DBA, АС=13 см. Найдите BD.

Для нахождения длины стороны $BD$ рассмотрим треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle CBA $.

В этих треугольниках:

1. $ \angle DAB = \angle CBA $ по условию задачи.
2. $ \angle DBA = \angle CAB $ по условию задачи.
3. Сторона $ AB $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AB$, $ \angle DAB $ и $ \angle DBA $ в $ \triangle DAB $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($BA$, $ \angle CBA $ и $ \angle CAB $ в $ \triangle CBA $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники $ \triangle DAB $ и $ \triangle CBA $ равны.

$ \triangle DAB \cong \triangle CBA $

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $BD$ в треугольнике $ \triangle DAB $ лежит напротив угла $ \angle DAB $. Сторона $AC$ в треугольнике $ \triangle CBA $ лежит напротив угла $ \angle CBA $.

Поскольку углы $ \angle DAB $ и $ \angle CBA $ равны, то и стороны, лежащие напротив них, также равны:

$ BD = AC $

По условию задачи дано, что $ AC = 13 $ см. Значит, и длина стороны $BD$ также равна 13 см.

Ответ: 13 см.

132 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ AB = А₁В₁, ВС = В₁С₁, ∠В = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), отсюда следует, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $D_1$ на стороне $A_1B_1$, луч $CD$ проходит между лучами $CA$ и $CB$, а луч $C_1D_1$ — между лучами $C_1A_1$ и $C_1B_1$. Это означает, что угол $\angle BCA$ можно представить как сумму углов $\angle BCD$ и $\angle DCA$. То есть, $\angle BCA = \angle BCD + \angle DCA$. Отсюда можно выразить $\angle BCD = \angle BCA - \angle DCA$.

Аналогично для второго треугольника: $\angle B_1C_1A_1 = \angle B_1C_1D_1 + \angle D_1C_1A_1$, и, соответственно, $\angle B_1C_1D_1 = \angle B_1C_1A_1 - \angle D_1C_1A_1$.

По условию задачи также дано, что $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Так как мы уже доказали, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$, мы можем утверждать, что при вычитании равных углов ($\angle ACD$ и $\angle A_1C_1D_1$) из равных углов ($\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$) получаются равные углы. Следовательно:

$\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать: $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$. Сравним их известные элементы:

• $BC = B_1C_1$ (по условию).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию). Эти углы в рассматриваемых треугольниках являются углами $\angle CBD$ и $\angle C_1B_1D_1$.
• $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$ (как доказано выше).

Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ), $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

133 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Из условия $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует, что их соответственные стороны и углы равны:

• $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведем в этих треугольниках биссектрисы к соответственно равным сторонам. Для примера выберем пару соответственных сторон $AC$ и $A_1C_1$. Биссектриса, проведенная к стороне $AC$, выходит из вершины $B$. Обозначим ее $BD$. Соответственно, биссектриса, проведенная к стороне $A_1C_1$, выходит из вершины $B_1$. Обозначим ее $B_1D_1$.

Требуется доказать, что биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ равны, то есть $BD = B_1D_1$.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$ по условию равенства исходных треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).
2. Угол $\angle BAD$ (который является углом $\angle A$) равен углу $\angle B_1A_1D_1$ (который является углом $\angle A_1$), так как это соответственные углы в равных треугольниках.
3. Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle B$, поэтому $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, отрезок $B_1D_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Мы установили, что сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $\angle BAD$ и $\angle ABD$ в первом треугольнике соответственно равны стороне $A_1B_1$ и прилежащим к ней углам $\angle B_1A_1D_1$ и $\angle A_1B_1D_1$ во втором треугольнике.

Поскольку треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ равны, то равны и их соответственные стороны. Сторона $BD$ лежит напротив угла $\angle BAD$, а сторона $B_1D_1$ — напротив равного ему угла $\angle B_1A_1D_1$. Следовательно, эти стороны являются соответственными и, значит, равны: $BD = B_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.